Централизатор и нормализатор

(перенаправлено с «Централизатор»)

В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G.

Определение применимо также к моноидам и полугруппам.

В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно операции полугруппы (умножения). Централизатор подмножества кольца R является подкольцом R. В этой статье также говорится о централизаторах и нормализаторах в алгебре Ли.

Идеализатор[en] в полугруппе или кольце — это ещё одна конструкция в том же духе, что централизатор и нормализатор.

ОпределенияПравить

Группы и полугруппы

Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как[1]

  для всех  

Иногда, в случае отсутствия двусмысленности, группа G полностью определяется нотацией. Если S={a} — множество, состоящее из единственного элемента, CG({a}) можно сократить до CG(a). Другим, менее употребимым, обозначением для централизатора служит Z(a), которое проводит параллель с обозначением центра группы. Здесь следует проявлять осторожность, чтобы не спутать центр группы G, Z(G), и централизатор элемента g в G, который обозначается как Z(g).

Нормализатор S в группе (или полугруппе) G по определению равен

 

Определения похожи, но не идентичны. Если g — централизатор S и s принадлежит S, то должно выполняться  , однако, если g — нормализатор,   для некоторого t из S, возможно, отличного от s. То же соглашение об опускании G и скобок для множеств из единственного элемента также используется и для нормализатора. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием.

Кольца, алгебры, кольца и алгебры Ли

Если R — кольцо или алгебра, а S — подмножество кольца, то централизатор S в точности совпадает c определением для групп, только вместо G стоит R.

Если   — алгебра Ли (или кольцо Ли[en]) с произведением Ли [x,y], то централизатор подмножества S   определяется как [2]

  для всех  

Определение централизаторов для колец Ли связано с определением для колец следующим образом. Если R — ассоциативное кольцо, то для R можно задать скобочное произведение [x,y] = xyyx. Естественно, xy = yx тогда и только тогда, когда [x,y] = 0. Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как LR, то ясно, что централизатор кольца S в R совпадает с централизатором кольца Ли S в LR.

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли)   задаётся равенством[2]

  для всех  

В то время как это определение является стандартным для термина «нормализатор» в алгебре Ли, следует заметить, что эта конструкция является фактически идеализатором[en] множества S в  . Если S − аддитивная подгруппа  , то   является наибольшим подкольцом Ли (или подалгеброй Ли), в которой S является идеалом Ли.[2]

СвойстваПравить

ПолугруппыПравить

Пусть S′ — централизатор, то есть   для всех   Тогда:

Группы [3]
  • Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G.
  • Ясно, что CG(S)⊆NG(S). На самом деле, CG(S) всегда является нормальной подгруппой NG(S).
  • CG(CG(S)) содержит S, но CG(S) не обязательно содержит S. CG(S) будет совпадать с S если st=ts для любого s и t из S. Естественно, что если H — абелева подгруппа G, CG(H) содержит H.
  • Если S является подполугруппой G, то NG(S) содержит S.
  • Если H является подгруппой G, то наибольшая подгруппа, в которой H нормальна, является подгруппой NG(H).
  • Центр G — это в точности CG(G) и G является абелевой группой в том и только в том случае, когда CG(G)=Z(G) = G.
  • Для множеств, состоящих из одного элемента, CG(a)=NG(a).
  • Из принципа симметрии, если S и T являются двумя подмножествами G, TCG(S) в том и только в том случае, когда SCG(T).
  • Для подгруппы H группы G факторгруппа NG(H)/CG(H) изоморфна подгруппе Aut(H), группе автоморфизмов группы H. Поскольку NG(G) = G и CG(G) = Z(G), отсюда также следует, что G/Z(G) изоморфно Inn(G), подгруппе Aut(G), состоящей из всех внутренних автоморфизмов G.
  • Если мы определим гомоморфизм группы T : G → Inn(G), положив T(x)(g) = Tx(g) = xgx −1, то мы можем описать NG(S) и CG(S) в терминах действия группы Inn(G) на G: стабилизатор S в Inn(G) — это T(NG(S)), и подгруппа Inn(G), фиксирующая S — это T(CG(S)).
Кольца и алгебры[2]
  • Централизаторы в кольцах и алгебрах — это подкольца и подалгебры, соответственно, а централизаторы в кольцах Ли и алгебрах Ли — это подкольца Ли и подалгебры Ли, соответственно.
  • Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S.
  • CR(CR(S)) содержит S, но не обязательно совпадает с ним. Теорема о двойном централизаторе[en] рассматривает случаи, когда в результате получаем совпадение.
  • Если S является аддитивной подгруппой кольца Ли A, то NA(S) является наибольшим подкольцом Ли A, в котором S — идеал Ли.
  • Если S — подкольцо Ли кольца Ли A, то SNA(S).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

СсылкиПравить

  • I. Martin Isaacs. Algebra: a graduate course. — reprint of the 1994 original. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2009. — С. xii+516. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-0-8218-4799-2.
  • Nathan Jacobson. Basic algebra. — 2. — Dover, 2009. — Т. 1. — ISBN 978-0-486-47189-1.
  • Nathan Jacobson. Lie algebras. — republication of the 1962 original. — New York: Dover Publications Inc., 1979. — С. ix+331. — ISBN 0-486-63832-4.