Центральное многообразие

Центра́льное многообра́зие особой точки автономного обыкновенного дифференциального уравненияинвариантное многообразие в фазовом пространстве, проходящее через особую точку и касающееся инвариантного центрального подпространства линеаризации дифференциального уравнения.[1] Важный объект изучения теории дифференциальных уравнений и динамических систем. В некотором смысле, вся нетривиальная динамика системы в окрестности особой точки сосредоточена на центральном многообразии.[2]

Формальное определениеПравить

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение с особой точкой 0:

 

где  ,   — линейный оператор,   — гладкая функция класса  , причем   и  . Иными словами,  линеаризация векторного поля в особой точке 0.

подпространство название спектр A
  устойчивое (stable)  
  неустойчивое (unstable)  
  центральное (center)  

Согласно классическим результатам линейной алгебры, линейное пространство раскладывается в прямую сумму трех  -инвариантных подпространств  , где   определяются знаком вещественной части соответствующих собственных значений (см. табл.)

Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованной системы  , решением которой является матричная экспонента  . Оказывается, динамика системы в окрестности особой точки по своим свойствам близка к динамике линеаризованной системы. Точнее, справедливо следующее утверждение:[3][4]

Теорема (о центральном многообразии).

Предположим, что правая часть дифференциального уравнения (*) принадлежит классу  ,  . Тогда в окрестности особой точки существуют многообразия   и   классов   и   соответственно, инвариантные относительно фазового потока дифференциального уравнения. Они касаются в начале координат подпространств   и   и называются устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями соответственно.

В случае, когда правая часть уравнения (*) принадлежит классу  , многообразия   и   также принадлежат классу  , но центральное многообразие  , вообще говоря, может быть лишь конечно-гладким. При этом для любого сколь угодно большого числа   многообразие   принадлежит классу   в некоторой окрестности  , стягивающейся к особой точке при  , так что пересечение всех окрестностей   состоит лишь из самой особой точки[5].

Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия называются также гиперболическими, они определяются единственным образом; в то же время, локальное центральное многообразие определяется не единственным образом. Очевидно, что если система (*) линейна, то инвариантные многообразия совпадают с соответствующими инвариантными подпространствами оператора  .

Пример: седлоузелПравить

 
Фазовый портрет седлоузловой особой точки. Красным выделено одно из возможных локальных центральных многообразий

Невырожденные особые точки на плоскости не имеют центрального многообразия. Рассмотрим простейший пример вырожденной особой точки: седлоузел вида

 

Его неустойчивое многообразие совпадает с осью Oy и состоит из двух вертикальных сепаратрис   и   и самой особой точки. Остальные фазовые кривые задаются уравнением

 ,

где  .

Нетрудно видеть, что в левой полуплоскости единственная фазовая кривая, стремящаяся к особой точке, совпадает с лучом оси Ox  . В то же время, в правой полуплоскости существует бесконечно много (континуум) фазовых кривых, стремящихся к нулю — это графики функции y(x) для любого   и любого  . В силу того, что функция y(x) является плоской в нуле, мы можем составить гладкое инвариантное многообразие из луча  , точки (0, 0) и любой траектории в правой полуплоскости. Любое из них локально будет центральным многообразием точки (0, 0).[6]

Глобальные центральные многообразияПравить

Если рассматривать уравнение (*) не в некоторой окрестности особой точки 0, а во всем фазовом пространстве  , можно дать определение глобального центрального многообразия. Неформально говоря, его можно определить как инвариантное многообразие, траектории на котором не стремятся к бесконечности (в прямом либо обратном времени) вдоль гиперболических направлений. В частности, глобальное центральное многообразие содержит все ограниченные траектории (а значит, и все предельные циклы, особые точки, сепаратрисные связки и т.д.) [7]

Рассмотрим проекции   пространства   на соответствующие инвариантные подпространства оператора  . Определим также подпространство   и проекцию   на него. Центральным многообразием   называется множество таких точек   фазового пространства, что проекция траекторий, стартующих из  , на гиперболическое подпространство, ограничена. Иными словами

 ,

где   — такое решение уравнения (*), что  .[8]

Для существования глобального центрального многообразия на функцию   необходимо наложить дополнительные условия: ограниченность и липшицевость с достаточно малой константой Липшица. В этом случае глобальное центральное многообразие существует, само является липшицевым подмногообразием в   и определено единственным образом.[8] Если потребовать от   гладкости порядка   и малости производной, то глобальное центральное многообразие будет иметь гладкость порядка   и касаться центрального инвариантного подпространства   в особой точке 0. Из этого следует, что если рассматривать ограничение глобального центрального многообразия на малую окрестность особой точки, то оно будет локальным центральным многообразием — это один из способов доказательства его существования. Даже если система (*) не удовлетворяет условиям существования глобального центрального многообразия, её можно модифицировать вне какой-то окрестности нуля (домножив на подходящую гладкую срезающую функцию типа «шапочка»), так, чтобы эти условия стали выполняться, и рассмотреть ограничение имеющегося у модифицированной системы глобального центрального многообразия. Оказывается, можно сформулировать и обратное утверждение: можно глобализовать локально заданную систему и продолжить локальное центральное многообразие до глобального.[9] Точнее, это утверждение формулируется следующим образом:[10]

Теорема. Пусть  ,  ,  ,   и   — локальное центральное многообразие (*). Найдется такая малая окрестность нуля   и такая ограниченная на всем пространстве функция  , совпадающая с   в  , что уравнение (*) для функции   имеет гладкое глобальное центральное многообразие, совпадающее в области   с  

Следует отметить, что переход от локальных задач к глобальным и наоборот часто используется при доказательстве утверждений, связанных с центральными многообразиями.

Принцип сведенияПравить

Как было сказано выше, нетривиальная динамика вблизи особой точки «сосредоточена» на центральном многообразии. Если особая точка гиперболическая (то есть линеаризация не содержит собственных значений с нулевой вещественной частью), то центрального многообразия у неё нет. В этом случае, согласно теореме Гробмана-Хартмана, векторное поле орбитально-топологически эквивалентно своей линеаризации, то есть с топологической точки зрения динамика нелинейной системы полностью определяется линеаризацией. В случае негиперболической особой точки топология фазового потока определяется линейной частью и ограничением потока на центральное многообразие. Это утверждение, называемое принципом сведения Шошитайшвили, формулируется следующим образом:[11]

Теорема (А. Н. Шошитайшвили, 1975[12]).

Предположим, что правая часть векторного поля (*) принадлежит классу  . Тогда в окрестности негиперболической особой точки оно орбитально-топологически эквивалентно произведению стандартного седла и ограничению поля на центральное многообразие:

 

ПримечанияПравить

  1. Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5., c. 13
  2. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0., глава 1, п. 2.3
  3. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0., глава 1, пункт 2.2
  4. Нелинейная динамика и хаос, 2011, с. 133.
  5. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей, — Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. — Глава 3, пар. 3.2.
  6. Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 37. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5.
  7. Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 14. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5.
  8. 1 2 Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 16. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5.
  9. Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 36. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5.
  10. Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 38. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5.
  11. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0., см. также Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 406. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5.
  12. Шошитайшвили А. Н. Бифуркации топологического типа векторного поля вблизи особой точки. // Тр. семинаров им. И. Г. Петровского. — 1975. — № вып 1.. — С. 279—309.

ЛитератураПравить