Центральность узла по Кацу

Центральность узла по Кацу — это мера центральности в сети. Эту центральность ввёл Лео Кац в 1953 и она была использована для измерения относительной степени влияния действующего объекта (или узла) внутри социальной сети[1]. В отличие от типичных мер центральности, которые рассматривают только кратчайшие пути (геодезические) между парой действующих объектов, Центральность по Кацу измеряет влияние путём принятия во внимание общего числа маршрутов между парой действующих объектов[2].

Показатель подобен ссылочному ранжированию PageRank компании Google и степени влиятельности[3].

ИзмерениеПравить

 
Простая социальная сеть: узлы представляют людей или объекты, а рёбра между узлами представляют некоторые связи между объектами

Центральность по Кацу вычисляет относительное влияние узла в сети путём измерения числа ближайших соседей (узлы первой степени), а также всех других узлов в сети, которые соединяются через этих ближайших соседей. Соединения с этими удалёнными соседями, однако, уменьшаются на множитель  [4]. Любому пути или связи между парой узлов назначается вес, определённый значением   и расстоянием между узлами как  .

Например, на рисунке справа представим, что измеряется центральность Джона и что  . Вес, назначенный каждой связи, которая соединяет Джона (John) с его непосредственными соседями Джейн (Jane) и Бобом (Bob), будет равен  . Поскольку Жозе (Jose) связен с Джоном косвенно через Боба, вес, назначенный этому соединению (состоящему из двух связей), будет равен  . Аналогично, вес, назначенный связи между Агнетой (Agneta) и Джоном через Азиза (Aziz) и Джейн, будет равен  , а вес, назначенный связи между Агнетой и Джоном через Диего (Diego), Жозе и Боба, будет равен  .

Математическая формулировкаПравить

Пусть A будет матрицей смежности рассматриваемой сети. Элементы   матрицы A являются переменными, которые принимают значение 1, если узел i связен с узлом j, и значение 0 в противном случае. Степени матрицы A показывают присутствие (или отсутствие) связей между двумя узлами через посредников. Например, в матрице  , если элемент  , это говорит о том, что узлы 2 и 12 связаны некоторым путём длины 3. Если   обозначает центральность по Кацу узла i, то математически

 

Заметим, что определение выше использует факт, что элемент в позиции   матрицы   отражает общее число соединений степени   между узлами   и  . Значение множителя затухания   следует выбрать так, чтобы оно было меньше, чем обратное значение абсолютного значения наибольшего собственного значения матрицы A[5]. В этом случае следующее выражение может быть использовано для вычисления центральности по Кацу:

 

Здесь   — единичная матрица,   — вектор размера n (n равно числу узлов), состоящий из единиц.   означает транспонированную матрицу матрицы A, а   означает обратимую матрицу матрицы  [5].

Расширение этой концепции позволяет вычислять маршруты в динамических условиях[6][7]. Направление времени сохраняется, так что вклад асимметричен в направлении распространения информации.

Сети дают данные вида:

  для  

представляя матрицу смежности в каждый момент времени  . Следовательно,

  1, если существует ребро из узла i в узел j в момент  , и 0 в противном случае

Моменты времени   упорядочены, но не обязательно равномерно распределены.   для каждого   является взвешенным счётчиком числа динамических маршрутов длины   из узла   в узел  . Вид динамической коммуникабельности между узлами:

 

Это можно нормализовать

 

Таким образом, центральность измеряет как эффективно узел   может «рассылать» и «получать» динамические сообщения по сети,

  и  .

ПриложенияПравить

Центральность по Кацу можно использовать для вычисления центральности в ориентированных сетях, таких как сети цитат и World Wide Web[8].

Центральность по Кацу более пригодна при анализе ориентированных ацикличных графов, где традиционно используемые меры, такие как степень влиятельности, становятся бессмысленными[8].

Центральность по Кацу можно также использовать в оценке относительного статуса или влияния объектов в социальной сети. Статья Лафлина с соавторами[9] показывает анализ применения динамической версии центральности по Кацу к данным Твиттера и фокусируется на объектах, которые имеют стабильных лидеров обсуждения. Приложение позволяет сравнение методологии с работой человеческих экспертов в этой области и как результаты согласуются с панелью экспертов социальных сетей.

В нейронауках было обнаружено, что центральность по Кацу коррелирует с относительной частотой возбуждения нейронов в нейронной сети [10]. Временно́е расширение центральности по Кацу применяется к данным фМРТ, полученным из экспериментов с музыкальным обучением[11], где данные собираются до и после процесса обучения. Результаты показали, что изменения в структуре сети создавали в каждой сессии количественные связи, которые образуют кластеры на прямой успешного обучения.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Katz L. A New Status Index Derived from Sociometric Index // Psychometrika. — 1953.
  • Hanneman R. A., Riddle M. Introduction to Social Network Methods. — Riverside, CA: University of California, Riverside, 2005.
  • Aggarwal C. C. Social Network Data Analysis. — New York, NY: Springer, 2011.
  • Junker B. H., Schreiber F. Analysis of Biological Networks. — Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2008. — ISBN 978-0-470-04144-4.
  • Newman M.E.J. Networks: An Introduction. — Oxford, UK: Oxford University Press, 2010.
  • Vigna S. Spectral ranking // Network Science. — 2016. — Т. 4, вып. 4. — doi:10.1017/nws.2016.21.
  • Alexander V. Mantzaris, Danielle S. Bassett, Nicholas F. Wymbs, Ernesto Estrada, Mason A. Porter, Peter J. Mucha, Scott T. Grafton, Desmond J. Higham. Dynamic network centrality summarizes learning in the human brain // Journal of Complex Networks. — 2013. — Т. 1, вып. 1.
  • Peter Grindrod, Desmond J. Higham. Evolving graphs: Dynamical models, inverse problems and propagation // Proc. Roy. Soc. A. — 2010. — Т. 466.
  • Peter Grindrod, Mark C. Parsons, Desmond J. Higham, Ernesto Estrada. Communicability across evolving networks // Physical Review E. — APS, 2011. — Т. 83.
  • Peter Laflin, Alexander V. Mantzaris, Fiona Ainley, Amanda Otley, Peter Grindrod, Desmond J. Higham. Discovering and validating influence in a dynamic online social network // Social Network Analysis and Mining. — Springer, 2013. — Т. 3, № 4.
  • Jack McKay Fletcher, Thomas Wennekers. From Structure to Activity: Using Centrality Measures to Predict Neuronal Activity // International Journal of Neural Systems. — 2017. — Т. 0, № 0. — doi:10.1142/S0129065717500137.