Центральный биномиальный коэффициент

В математике nцентральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентов

для всех .

Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS

СвойстваПравить

Производящая функция:

 


По формуле Стирлинга получаем:

  при  .


Полезные ограничения:

  для каждого  


Если нужна большая точность:

  где   для всех  .


С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, Cn. Их формула:

  для каждого  .

Обобщением центральных биномиальных коэффициентов можно считать числа  , для всех действительных n, при которых выражение определено, где   — это Гамма-функция, а   это Бета-функция.

См. такжеПравить

СсылкиПравить