Открыть главное меню
Triangle.Centroid.svg

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике[1].

Центроид традиционно обозначается латинской буквой . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга[en], как точка X(2).

Содержание

СвойстваПравить

  • Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
  • Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
  • Если   — центроид треугольника   то для любой точки   верно равенство
     .
  • Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
  • Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
  • Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
  • При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
  • Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
  • Пусть ABC — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника ABC, называется окружностью Парри треугольника ABC.
  • Три чевианы, проведённые через произвольную точку   внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка   совпадает с центроидом[2].
  • Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:
 [3]
  • Пусть qa, qb и qc — расстояния от центроида до сторон с длинами, соответственно равными a, b и c. Тогда[4]:173
 
и
 ,
где S — площадь треугольника.

ИсторияПравить

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольникеПравить

  • Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

  • Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности[5].
  • У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади Ga, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин Gv и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле[6]
 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Е. Смирнова. Планиметрия: виды задач и методы их решений. Элективный курс для учащихся 9—11 классов. — Litres, 2017-09-05. — С. 165. — 417 с.
  2. Зетель, 1962, с. 12.
  3. Altshiller-Court (1925, pp. 70–71)
  4. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
  5. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), "2.3 Cyclic quads", Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8 
  6. Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral, <http://people.bath.ac.uk/masgcs/Article141.pdf> 

ЛитератураПравить