Цепная гомотопия

Цепна́я гомото́пия — вариация понятия «гомотопия» в алгебраической топологии и гомологической алгебре

ОпределениеПравить

Пусть   — цепной комплекс модулей (то есть семейство модулей   и модульных гомоморфизмов  ),   и   — цепные отображения комплекса   в комплекс   (то есть такие гомоморфизмы   что  ).

Цепной гомотопией между отображениями   и   называется такое семейство гомоморфизмов  , что

 

СвойстваПравить

  • Если отображения   и   цепно гомотопны, то индуцированные отображения на гомологиях   равны (где  ). В самом деле, пусть   — цикл, то есть элемент из  . Тогда  . Так как   и   цепно гомотопны, то
     ,
то есть отличаются на границу (элемент  ).
  • Для большинства теорий гомологий доказывается, что гомотопные непрерывные отображения топологических пространств   индуцируют цепно гомотопные отображения комплексов   и, по доказанному, одинаковые отображения групп гомологий   (выполняется аксиома гомотопической инвариантности).

ЛитератураПравить

  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — М.: Наука, 1989
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971