Открыть главное меню

Цепно́й компле́кс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.

Эти понятия первоначально использовались в алгебраической топологии для изучения топологических пространств. В гомологической алгебре рассматриваются как абстрактные алгебраические структуры, безотносительно к какому-либо топологическому пространству.

Для цепных комплексов определяются их группы гомологий (группы когомологий для коцепных комплексов). Цепные комплексы также могут быть определены в произвольной абелевой категории.

Содержание

ОпределенияПравить

Цепным комплексом называется последовательность   модулей и гомоморфизмов  , называемых граничными операторами или дифференциалами:

 ,

такая что  . Элементы   называются  -мерными цепями, элементы ядра   —  -мерными циклами, элементы образа   —  -мерными границами. Из   следует, что   (полуточность). Если к тому же  , то такой комплекс называется точным.

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами  , где   последовательность морфизмов  , такая что   коммутирует с дифференциалом, то есть  .

Цепной комплекс также можно определить как градуированный модуль  , снабжённый дифференциалом   степени −1.

Также можно определить комплексы, состоящие из объектов произвольной абелевой категории, например, категории пучков абелевых групп.[1]

Коцепной комплексПравить

Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей   и гомоморфизмов  , таких что

 

Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.

 

Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.

Гомологии и когомологииПравить

n-мерная группа гомологий   цепного комплекса   является его мерой точности в n-ом члене и определяется как

 . Для точного комплекса  

Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:

 

Гомоморфизмы цепных комплексовПравить

Гомоморфизмом цепных комплексов   и   называется такое отображение   что следующая диаграмма оказывается коммутативной:

Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.

Тензорное произведение комплексов и внутренний HomПравить

Если V = V  и W = W  — цепные комплексы, то их тензорное произведение   — это цепной комплекс, элементы степени i которого имеют вид

 

а дифференциал задаётся формулой

 

где a и b — произвольные однородные элементы V и W соответственно, а   обозначает степень элемента a.

Это тензорное произведение позволяет снабдить категорию цепных комплексов K-модулей   (для произвольного коммутативного кольца K) структурой симметричной моноидальной категории. Операция заузливания задаётся на разложимых тензорах формулой

 .

Знак необходим для того, чтобы операция заузливания была гомоморфизмом цепных комплексов. Более того, в категории цепных комплексов K-модулей имеется внутренний Hom: для цепных комплексов V и W, внутренний Hom для V и W, обозначаемый hom(V,W), — это цепной комплекс, элементы степени n которого имеют вид  , а дифференциал задаётся формулой

 .

Имеется естественный изоморфизм

 .

Цепная гомотопияПравить

Цепная гомотопия   между гомоморфизмами комплексов   и   — это такой гомоморфизм цепных комплексов   и   степени +1 (то есть  ), для которого

 
 

Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры, — М.: 1961. (Б-ка сборника «Математика»).
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — М.: Мир, 1976.
  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — М.: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
  • Маклейн С. Гомология, — М.: Мир, 1966.