Открыть главное меню

Циклическая группа — группа , которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: .

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению

Содержание

СвойстваПравить

  • Все циклические группы абелевы.
  • Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе   —   со сложением по модулю n (её также обозначают  ), а каждая бесконечная — изоморфна  , группе целых чисел по сложению.
    • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
  • Каждая подгруппа циклической группы циклична.
  • У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера
  • Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
  • Прямое произведение двух циклических групп порядков   и   циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
    • Например,   изоморфна  , но не изоморфна  .
  • Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа  , где p — простое число, или  .
  • Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
  • Кольцо эндоморфизмов группы   изоморфно кольцу  . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм  , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов   изоморфна  .

ПримерыПравить

ДоказательстваПравить

Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство. Пусть   — циклическая группа и   — подгруппа группы  . Если группа   тривиальна (состоит из одного элемента), то   и   циклична. Если   — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то   циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что   и   не являются тривиальными.

Пусть   — образующий элемент группы  , а   — наименьшее положительное целое число, такое что  . Утверждение:  

 

 
 
Следовательно,  .

  

Пусть  .
 .
Согласно алгоритму деления с остатком  
 .
 .
Исходя из того, каким образом мы выбрали   и того, что  , делаем вывод, что  .
 .
Следовательно,  .

ЛитератураПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
  • Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.