Циссоида Диокла

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по $OX$, а ось ординат по $OY$, на отрезке $OA=2a$, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке $A$ проводится касательная $UV$. Из точки $O$ проводится произвольная прямая $OF$, которая пересекает окружность в точке $E$ и касательную в точке $F$. От точки $F$, в направлении точки $O$, откладывается отрезок $FM$, длина которого равна длине отрезка $OE$. При вращении линии $OF$ вокруг точки $O$, точка $M$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

Уравнения

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

$y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)$

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

$\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.$

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

$\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=$

$=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=$

$=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).$

Параметрическое уравнение циссоиды:

$x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},$ $y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},$

где

$u=\mathrm {tg} \,\varphi$.

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка $P$, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке $E$; ось симметрии — диаметр $BD$. Из точки $P$ проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка $M$, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой $OE$. Этим методом Диокл построил только кривую $DOB$ внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды ($DOB$) замкнуть дугой окружности $EAD$, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — κισσός («киссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Свойства

• Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
• Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках $B$ и $D$, которые принадлежат диаметру этой окружности.
• Циссоида имеет один касп и асимптоту $UV$, уравнение которой: $x=2a$, где $a$ — радиус вспомогательной окружности.
• Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является асимптотой циссоиды.

Площадь между циссоидой и асимптотой

Эта площадь равна:

$S_{1}=3\pi a^{2}.$

Вывод

Площадь, заключённая между ветвями циссоиды $KOL$ и асимптотой $UV$ $S_{1}$. Уравнение верхней ветви $OL$:

$y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}.\qquad \qquad (2)$

Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до $2a$:

${\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}\,dx.\qquad \qquad (3)$

Подстановка:

$u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.$

Пределы интегрирования:

$x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a}},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.$

Интеграл (3) преобразуется к виду:

${\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^{3}}}\,du=$

$=\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.$

Итак:

${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.$

$S_{1}=3\pi a^{2}.$

Объём тела вращения

Объём ($V_{1}$) тела, образованного при вращении ветви $OL$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

$V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=$

$=\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x}}\right)\,dx=$

$=\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0}^{2a}.$

Если $x\to 2a$, то $\ln(2a-x)\to -\infty$, то есть $V_{1}\to \infty$.

Литература

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с.
• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — Москва: Физматгиз, 1961. — 263 с.

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 53—56 с. — ISBN 0-486-60288-5.
• Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.