Чебышёвский альтернанс

Чебышёвский альтерна́нс (или просто альтерна́нс) (от фр. alternance — «чередование») — в математике такой набор точек $x_{1}<x_{2}<...<x_{N}$, в которых непрерывная функция одной переменной $g(x)$ последовательно принимает своё максимальное по модулю значение, при этом знаки функции в этих точках $g(x_{1}),$ $g(x_{2}),...,$ $g(x_{N})$ — чередуются.

Такая конструкция впервые встретилась в теореме о характеризации полинома наилучшего приближения, открытой П. Л. Чебышёвым в XIX веке. Сам термин альтернанс был введён И. П. Натансоном в 1950-е годы.

Теорема Чебышёва об альтернансе

Чтобы многочлен $Q_{n}(x)$ степени $n$ был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции $f(x)$, необходимо и достаточно существования на $[a,b]$ по крайней мере $n+2$ точек $x_{0}<...<x_{n+1}$ таких, что

$f(x_{i})-Q_{n}(x_{i})=\alpha (-1)^{i}||f-Q_{n}||$,

где $i=0,...,n+1,\alpha =\pm 1$ одновременно для всех $i$.

Точки $x_{0}<...<x_{n+1}$, удовлетворяющие условиям теоремы, называются точками чебышёвского альтернанса.

Пример приближения функции

Иллюстрация

Допустим, что необходимо приблизить функцию квадратного корня с помощью линейной функции (многочлена первой степени) на интервале (1, 64). Из условия теоремы, нам необходимо найти $n+2$ (в рассматриваемом случае — 3) точек чебышёвского альтернанса. Поэтому, в силу выпуклости разности квадратного корня и линейной функции, таковыми точками являются единственная точка экстремума этой разности и концы интервала, на котором происходит приближение функции. Обозначим $a=1,b=64$. $d$ — точка экстремума. Тогда имеют место следующие уравнения:

${\sqrt {1}}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times 1)=\alpha L$

${\sqrt {d}}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times d)=-\alpha L$

${\sqrt {64}}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times 64)=\alpha L$

Здесь $\alpha L$ — разности между значениями функции и многочлена. Вычитая первое уравнение из третьего, можно получить, что

$\alpha _{1}={\frac {1}{9}}=0,(1)$

Так как $d$ — точка экстремума, а линейная функция и функция квадратного корня непрерывны и дифференцируемы, определить значение $d$ можно из следующего уравнения:

$({\sqrt {x}})'(d)-\alpha _{1}=0$

Отсюда $d=20{\frac {1}{4}}=20,25$

Теперь можно вычислить $\alpha _{0}$

$\alpha _{0}={\frac {113}{72}}=1,569(4)$

Следовательно, наилучшее линейное приближение функции ${\sqrt {x}}$ на интервале от 1 до 64:

${\frac {1}{9}}x+{\frac {113}{72}}$.

См. также

• Алгоритм Ремеза
• Многочлены Чебышёва

Литература

• Бахвалов, Н. С.; Жидков, Н. П.; Кобельков, Г. Н. Численные методы
• Ульянов, М. В. Ресурсно-эффективные компьютерные алгоритмы.

Ссылки

• Лекции А. М. Мацокина