Чевиана — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне[1]. Часто рассматриваются три таких отрезка, пересекающихся в одной точке, которые совместно называются чевианами. Название «чевиана» происходит от имени итальянского инженера Джованни Чевы, доказавшего известную теорему о чевианах, которая носит его имя[2]. Медианы, биссектрисы и высоты в остроугольном треугольнике являются специальными случаями чевиан.

ДлинаПравить

 
Треугольник с чевианой длины d

Теорема СтюартаПравить

Длину чевианы можно найти по теореме Стюарта — длина чевианы d (см. рисунок) задаётся формулой

 

МедианаПравить

Если чевиана является медианой (то есть делит сторону пополам), длина может быть определена по формуле

 

или

 

поскольку

 

Следовательно,

 

БиссектрисаПравить

Если чевиана является биссектрисой, её длина удовлетворяет формуле

 

и [3]

 

откуда

 ,

где полупериметр s = (a+b+c)/2.

Сторона a делится в пропорции b:c.

ВысотаПравить

Если чевиана является высотой, а потому перпендикулярна стороне, её длина удовлетворяет формулам

 

и

 

где полупериметр s = (a+b+c) / 2.

Свойства отношенийПравить

 
Три чевианы, проходящие через общую точку

Имеются различные свойства пропорций длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну общую внутреннюю точку[4]. Для треугольника на рисунке справа выполняются равенства

  (Теорема Чевы)
  (Теорема Ван-Обеля о треугольнике)
  (Теорема Жергонна)
  (Теорема Жергонна)

Два последних свойства эквивалентны, поскольку сумма этих двух уравнений даёт тождество 1 + 1 + 1 = 3.

Делители периметраПравить

Делители периметра треугольника — это чевиана, которая делит периметр пополам. Три таких делителя пересекаются в точке Нагеля треугольника.

Делители площадиПравить

Три делителя (пополам) площади треугольника — это его медианы.

ТрисектрисыПравить

Если в каждой вершине треугольника проведены две чевианы, делящие углы на три равные части, то шесть чевиан пересекаются попарно, образуя правильный треугольник, называемый треугольником Морли.

Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианамиПравить

Теорема Рауса определяет отношение площади заданного треугольника к площади треугольника, образованного попарным пересечением трёх чевиан, по одной из каждой вершины.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Coxeter, Greitzer, 1967, с. 4.
  2. Lightner, 1975, с. 612–615.
  3. Johnson, 2007, с. 70.
  4. Posamentier, Salkind, 1996, с. 177—188.

ЛитератураПравить