Четырёхмерный многогранник

Графы шести выпуклых правильных четырёхмерных многогранников[en]
{3,3,3} {3,3,4} {4,3,3}
4-simplex t0.svg
Пятиячейник
4-симплекс
4-cube t3.svg
Шестнадцати-
ячейник

Ортоплекс
4-ортоплекс
4-cube t0.svg
Тессеракт
4-куб
{3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
24-cell t0 F4.svg
Октаплекс
Двадцатичетырёхъячейник
120-cell graph H4.svg
Додекаплекс
Стодвадцатиячейник
600-cell graph H4.svg
Тетраплекс
Шестисотячейник

Четырёхмерный многогранник — многогранник в четырёхмерном пространстве[1][2]. Многогранник является связанной замкнутой фигурой, состоящей из многогранных элементов меньшей размерности — вершин, рёбер, граней (многоугольников) и ячеек[en] (трёхмерных многогранников). Каждая грань принадлежит ровно двум ячейкам.

Двумерным аналогом четырёхмерных многогранников является многоугольник, а трёхмерным аналогом является трёхмерный многогранник.

Топологически четырёхмерные многогранники тесно связаны с однородными сотами[en], такими как кубические соты, замощающие трёхмерное пространство. Подобным образом трёхмерный куб связан с бесконечными двумерными квадратными сотами. Выпуклые четырёхмерные многогранники могут быть разрезаны и развёрнуты в виде развёрток в трёхмерном пространстве.

ОпределениеПравить

Четырёхмерный многогранник является замкнутой четырёхмерной фигурой. Он состоит из вершин (угловых точек), рёбер, граней и ячеек[en]. Ячейка — это трёхмерный аналог грани и является трёхмерным многогранником. Каждая двумерная грань должна соединять ровно две ячейки, аналогично тому, как рёбра трёхмерного многогранника соединяют ровно две грани. Подобно другим многогранникам элементы четырёхмерного многогранника не могут быть разделены на два или более множеств, которые также являются четырёхмерными многогранниками, то есть он не является составным.

Наиболее известным четырёхмерным многогранником является тессеракт (гиперкуб), четырёхмерный аналог куба.

ВизуализацияПравить

Примеры представления двадцатичетырёхъячейника
Срез Развёртка
   
Проекции
Шлегель 2D ортогональная 3D ортогональная
     

Четырёхмерные многогранники невозможно представить в трёхмерном пространстве ввиду лишней размерности. Для визуализации используется ряд техник.

Ортогональная проекция

Ортоганальные проекции можно использовать для показа различных симметрий четырёхмерного многогранника. Проекции можно представить в виде двумерных графов, а можно представить в виде трёхмерных тел в качестве проективных оболочек[en].

Перспективная проекция

Точно также как трёхмерные фигуры можно спроецировать на плоский лист, четырёхмерные фигуры можно спроецировать в трёхмерное пространство или даже на плоскость. Распространённым видом проекции является диаграмма Шлегеля, использующая стереографическую проекциию точек на поверхность 3-сферы в трёхмерном пространстве, соединёнными в трёхмерном пространстве прямыми рёбрами, гранями и ячейками.

Срез

Точно так же, как разрез многогранника выявляет поверхность разреза, срез четырёхмерного многогранника даёт «гиперповерхность» в трёхмерном пространстве. Последовательность таких срезов можно использовать для понимания всей фигуры. Лишнюю размерность можно приравнять ко времени для образования анимации этих сечений.

Развёртки

Развёртка четырёхмерного многогранника состоит из многогранных ячеек[en], соединённых гранями и располагающихся в трёхмерном пространстве, точно так же, как многоугольные грани развёртки трёхмерного многогранника соединены рёбрами и располагаются все в одной плоскости.

Топологические характеристикиПравить

Топология любого заданного четырёхмерного многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения[en][3].

Значение эйлеровой характеристики, используемой для характеристики многогранников, не обобщается должным образом на высшие размерности и равно нулю для всех четырёхмерных многогранников, какова бы ни была нижележащая топология. Это несоответствие эйлеровой характеристики для достоверного различения разных топологий в высоких размерностях ведёт к появлению более утончённых чисел Бетти[3].

Подобным образом понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики закручивания поверхностей тороидальных многогранников, что приводит к использованию коэффициентов кручения[3].

КлассификацияПравить

КритерииПравить

Четырёхмерные многогранники можно классифицировать по свойствам, таким как «выпуклость» и «симметрия»[3].

КлассыПравить

Следующий список различных категорий четырёхмерных многогранников классифицирован согласно критериям, изложенным выше:

 
Усечённый стодвадцатиячейник[en] является одним из 47 выпуклых непризматических однородных четырёхмерных многогранников

Однородный четырёхмерный многогранник[en] (вершинно транзитивный).

Другие выпуклые четырёхмерные многогранники:

 
Правильные кубические соты являются единственным правильным бесконечным четырёхмерным многогранником в евклидовом трёхмерном пространстве

Бесконечные однородные 4-мерные многогранники в евклидовом 3-мерном пространстве (однородные замощения выпуклыми однородными ячейками):

Бесконечные однородные четырёхмерные многогранники гиперболического трёхмерного пространства (однородные замощения выпуклыми однородными ячейками):

Двойственные однородные четырёхмерные многогранники[en] (ячейно транзитивные[en]):

  • 41 единственно возможных двойственных однородных четырёхмерных многогранника;
  • 17 единственно возможных двойственных однородных многогранных призм;
  • бесконечное семейство двойственных выпуклых однородных дуопризм (с неправильными тетраэдральными ячейками);
  • 27 единственно возможных двойственных однородных сот, включая:

Другие:

 
Одиннадцатиячейник является абстрактным правильным четырёхмерным многогранником, существующим в вещественной проективной плоскости. Его можно представить, нарисовав его 11 полуикосаэдральных вершин и ячеек в цвете

Абстрактные правильные четырёхмерные многогранники[en]:

Эти категории включают только четырёхмерные многогранники с высокой степенью симметрии. Возможно существование многих других четырёхмерных многогранников, но они не изучались столь интенсивно, как перечисленные выше.

См. такжеПравить

  • Правильный четырёхмерный многогранник
  • 3-сфера является другой широко обсуждаемой фигурой, располагающейся в четырёхмерном пространстве. Но она не является четырёхмерным многогранником, поскольку не ограничена многогранными ячейками.
  • Дуоцилиндр[en] является фигурой в четырёхмерном пространстве, связанной с дуопризмами, хотя это тоже не многогранник.

ПримечанияПравить

  1. Vialar, 2009, p. 674.
  2. Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010, p. 598.
  3. 1 2 3 4 Richeson, D.; Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
  4. В английском языке используется слово scaliform, образованное от двух слов — scale (многозначное слово, здесь — размер, шкала) и uniform (однородный). Название предложил Джонатан Боуэрс (Jonathan Bowers)
  5. Uniform Polychora, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005

ЛитератураПравить

  • T. Vialar. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. — Springer, 2009. — С. 674. — ISBN 978-3-540-85977-2.
  • V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. — Springer, 2010. — С. 598. — ISBN 978-90-481-8580-1. — doi:10.1007/978-90-481-8581-8.
  • H.S.M. Coxeter:
    • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
    • H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes[en]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380—407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559—591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • J.H. Conway, M.J.T. Guy. Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen. — 1965. — С. 38-39.
  • Norman Johnson[en]. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. Dissertation. — University of Toronto, 1966.
  • Four-dimensional Archimedean Polytopes (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation [1]

СсылкиПравить