Числа Люка задаются рекуррентной формулой

с начальными значениями и .

Последовательность чисел Люка начинается так:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, … (последовательность A000032 в OEIS)

Формула общего членаПравить

Последовательность   можно выразить как функцию от n:

 

где  золотое сечение.

Проверка простоты числа с помощью чисел ЛюкаПравить

Числа Люка могут использоваться для проверки чисел на простоту. Чтобы проверить, является ли число p простым, Возьмём p+1-ое число Люка, вычтем из него единицу, и если полученное число не делится на p нацело, то p гарантированно не является простым. В противном случае число может быть как простым, так и составным и требует более тщательной проверки.

В качестве примера проверим, является ли число 14 простым. 15-ое число Люка — 843.

 

Значит, 14 — гарантированно не простое.

Связь с числами ФибоначчиПравить

Числа Люка связаны с числами Фибоначчи следующим формулами

  •  
  •  
  •  , и при стремлении   к +∞ отношение   стремится к  
  •  
  •  
  •  

Другие свойстваПравить

Для   величина   меньше 1/2,   - ближайшее целое к   или, что эквивалентно,   - это целая часть  , что можно записать как  .

ОбобщенияПравить

Числа Люка можно также определить для отрицательных индексов по формуле:

 

Эдуард Люка ввел понятие «обобщённых последовательностей Фибоначчи», частным случаем которых являются числа Фибоначчи и числа Люка