Числа Ризеля

Question mark2.svg
Нерешённые проблемы математики: Чему равно наименьшее число Ризеля?

В математике число Ри́зеля — нечётное натуральное число k, для которого целые числа вида k·2n − 1 составные для всех натуральных чисел n. Другими словами, когда k — число Ризеля, все элементы множества составные. В 1956 году Ханс Ризель (швед. Hans Riesel) доказал, что существует бесконечное число целых чисел k таких, что k·2n − 1 является составным для любого целого n. Он показал, что этим свойством обладает число 509 203, а также 509 203 плюс любое натуральное число, умноженное на 11 184 810[1]. То, что какое-либо число является числом Ризеля, может быть показано нахождением покрывающего множества простых чисел, на которые будет делиться любой член последовательности. Известные числа Ризеля меньше одного миллиона имеют следующие покрывающие множества:

  • 509 203·2n − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
  • 762 701·2n − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
  • 777 149·2n − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
  • 790 841·2n − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
  • 992 077·2n − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Натуральное число может быть одновременно числом Ризеля и числом Серпинского, например 143 665 583 045 350 793 098 657[2].

Проблема РизеляПравить

Проблема Ризеля состоит в определении наименьшего числа Ризеля. Так как ни для одного числа k < 509 203 не найдено покрывающее множество, то предполагается, что 509 203 является наименьшим числом Ризеля.

Поиском кандидатов на числа Ризеля занимается проект добровольных распределённых вычислений PrimeGrid, где рассчитываются значения последовательностей k·2n − 1 для всех натуральных n, начиная с 1. Изначально, в марте 2010 года был известен 101 кандидат на числа Ризеля. Если в такой последовательности оказывается простое число, то этот кандидат исключается из рассмотрения.

По состоянию на март 2021 года осталось 48 значений k < 509 203 для которых последовательность содержит только составные числа для всех проверенных значений n. Вот они[3][4]:

2293, 9221, 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 192971, 206039, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить