Число Ферма

(перенаправлено с «Числа Ферма»)

Числа Ферма́ — числа вида , где (последовательность A000215 в OEIS).

При числа Ферма простые и равны . Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли они при n>4, или же все прочие числа Ферма — составные.

ИсторияПравить

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа   на простые сомножители:

 .

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если  , то   — простое[источник не указан 1347 дней]. Это утверждение оказалось неверным (контрпример:  ), однако, по мнению Тадеуша Банахевича, именно оно могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение   верно при всех  [1].

Простые числа ФермаПравить

На 2020 год известны только 5 простых чисел Ферма, при  [2]

 ,
 ,
 ,
 ,
 .

Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой. Известно, что   являются составными при  .

СвойстваПравить

 
и поэтому   не является простым.
  • Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
  • Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
  • Каждый делитель числа   при   имеет вид:   (Эйлер, Люка, 1878).
  • Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше гугола и 334-е число больше гуголплекса.

Разложение на простыеПравить

Всего по состоянию на июль 2020 года найдено 353 делителя чисел Ферма. Для 309 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (F20 и F24) до сих пор неизвестно ни одного делителя! [3]. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.

Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при  

 
 
 
 
 

Обобщённые числа ФермаПравить

Обобщённое число Ферма — число вида  . Числа Ферма являются обобщёнными числами Ферма для   и  .

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить