Число Ферма
Числа Ферма́ — числа вида , где (последовательность A000215 в OEIS).
При числа Ферма простые и равны .
Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли простые числа при n > 4 или же все прочие числа Ферма — составные.
История править
Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, когда тот нашёл разложение числа на простые сомножители:
- .
Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если , то — простое, это утверждение оказалось неверным (был найден контрпример: ), по мнению Тадеуша Банахевича, именно это могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение верно при всех [1].
Простые числа Ферма править
На 2023 год известны 5 простых чисел Ферма — при [2]
Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой. Известно, что являются составными при , при том, что до 5 все числа Ферма простые.
Свойства править
- Правильный -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда ( ), где — различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
- Среди чисел вида простыми могут быть только числа Ферма (то есть число n обязано быть степенью 2). Действительно, если у n есть нечётный делитель и , то
- и поэтому не является простым.
- Простоту некоторых чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина. Однако числа Ферма сильно растут, и этот тест был удачно применён только для 8 чисел, составность которых ранее не была доказана. По мнению Майера, Пападопулоса и Крэндалла, чтобы выполнить тесты Пепина на последующих числах Ферма, понадобится несколько десятилетий[3].
- Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
- Каждый делитель числа при имеет вид (Эйлер, Люка, 1878).
- Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше гугола, а 334-е число больше гуголплекса.
Разложение на простые править
Всего по состоянию на октябрь 2023 года найдено 368 простых делителя чисел Ферма. Для 324 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (F20 и F24) до сих пор неизвестно ни одного делителя[4]. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.
Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при
Обобщённые числа Ферма править
Обобщённое число Ферма — число вида . Числа Ферма являются их частным случаем для и
Примечания править
- ↑ В. Серпинский. 250 задач по теории чисел. — Просвещение, 1968. Архивировано 30 июня 2011 года.
- ↑ последовательность A019434 в OEIS
- ↑ Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), The twenty-fourth Fermat number is composite Архивная копия от 8 октября 2014 на Wayback Machine (англ.)
- ↑ Fermat factoring status . Дата обращения: 16 апреля 2019. Архивировано 10 февраля 2016 года.
Литература править
- Golomb, S. W. (January 1, 1963), "On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities", Canadian Journal of Mathematics, 15: 475—478, doi:10.4153/CJM-1963-051-0
- Grytczuk, A.; Luca, F.; Wójtowicz, M. (2001), "Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers", Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 25 (1): 111—115, doi:10.1007/s10012-001-0111-4
{{citation}}
: Неизвестный параметр|lastauthoramp=
игнорируется (|name-list-style=
предлагается) (справка) - Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics, vol. 1 (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
- Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2001), 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, CMS books in mathematics, vol. 10, New York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8
{{citation}}
: Неизвестный параметр|lastauthoramp=
игнорируется (|name-list-style=
предлагается) (справка) — This book contains an extensive list of references. - Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2002), "On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers" (PDF), Journal of Number Theory, 97 (1): 95—112, doi:10.1006/jnth.2002.2782
{{citation}}
: Неизвестный параметр|lastauthoramp=
игнорируется (|name-list-style=
предлагается) (справка) - Luca, Florian (2000), "The anti-social Fermat number", American Mathematical Monthly, 107 (2): 171—173, doi:10.2307/2589441, JSTOR 2589441
- Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
- Robinson, Raphael M. (1954), "Mersenne and Fermat Numbers", Proceedings of the American Mathematical Society, 5 (5): 842—846, doi:10.2307/2031878, JSTOR 2031878
- Yabuta, M. (2001), "A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors" (PDF), Fibonacci Quarterly, 39: 439—443
Ссылки править
- Леонид Дурман. Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: 1, 2, 3 // Компьютерра, 2001, № 393—395.
- TOP-20 Наибольших делителей чисел Ферма (англ.)
- Леонид Дурман, Luigi Morelli. Координирующий проект FERMATSEARCH (англ.) (итал.) (рус.)
- Wilfrid Keller. Prime Factors of Fermat Numbers (англ.)