Открыть главное меню

Числовая последовательность

Последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта[1][2], принадлежащий Ш. Мерэ[1]) — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

ОпределениеПравить

Пусть   — это либо множество вещественных чисел  , либо множество комплексных чисел  . Тогда последовательность   элементов множества   называется числовой последовательностью.

ПримерыПравить

  • Функция   является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид  .
  • Функция   является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид  .
  • Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу   одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида  . Например, пятым элементом   этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностямиПравить

На множестве всех последовательностей элементов множества   можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве  . Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве   определена  -арная операция  :

 

Тогда для элементов  ,  , …,   множества всех последовательностей элементов множества   операция   будет определяться следующим образом:

 

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей   и   называется числовая последовательность   такая, что  .

Разностью числовых последовательностей   и   называется числовая последовательность   такая, что  .

Произведением числовых последовательностей   и   называется числовая последовательность   такая, что  .

Частным числовой последовательности   и числовой последовательности  , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность  . Если в последовательности   на позиции   всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность  .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

ПодпоследовательностиПравить

Подпоследовательность последовательности   — это последовательность  , где   — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

ПримерыПравить

  • Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
  • Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

СвойстваПравить

  • Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
  • Для всякой подпоследовательности   верно, что  .
  • Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
  • Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
  • Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
  • Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
  • Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательностиПравить

Основная статья: Предельная точка

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательностиПравить

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностейПравить

  • Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
      стационарная  

Ограниченные и неограниченные последовательностиПравить

В предположении о линейной упорядоченности множества   элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

  • Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества  , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
      ограниченная сверху  
  • Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества  , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
      ограниченная снизу  
  • Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
      ограниченная  
  • Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
      неограниченная  

Критерий ограниченности числовой последовательностиПравить

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

  ограниченная  

Свойства ограниченных последовательностейПравить

  • Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
  • Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
  • Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
  • У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
  • Для любого наперёд взятого положительного числа   все элементы ограниченной числовой последовательности  , начиная с некоторого номера, зависящего от  , лежат внутри интервала  .
  • Если за пределами интервала   лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности  , то интервал   содержится в интервале  .
  • Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательностиПравить

Свойства бесконечно малых последовательностейПравить

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

  • Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
  • Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  • Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
  • Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
  • Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
  • Если   — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность  , которая является бесконечно малой. Если же   всё же содержит нулевые элементы, то последовательность   всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера  , и всё равно будет бесконечно малой.
  • Если   — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность  , которая является бесконечно большой. Если же   всё же содержит нулевые элементы, то последовательность   всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера  , и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательностиПравить

  • Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества  , имеющая предел в этом множестве.
  • Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностейПравить

  • Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
  • Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
  • Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
  • Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
  • Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
  • Если последовательность   сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность  , которая является ограниченной.
  • Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
  • Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
  • Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
  • Любую сходящуюся последовательность   можно представить в виде  , где   — предел последовательности  , а   — некоторая бесконечно малая последовательность.
  • Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательностиПравить

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательностиПравить

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — С. 44. — 608 с.
  2. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов / Под ред. к.ф.-м.н. А. П. Савина. — М.: Русский язык, 1989. — С. 16. — 244 с. — ISBN 5-200-01253-8.

См. такжеПравить