Числа Стирлинга первого рода

(перенаправлено с «Число Стирлинга первого рода»)

Числа Стирлинга первого рода (без знака) — количество перестановок из n элементов с k циклами.

Определение править

Числами Стирлинга первого рода (со знаком) s(n, k) называются коэффициенты многочлена:

 

где  символ Похгаммера (убывающий факториал):

 

Как видно из определения, числа имеют чередующийся знак. Их абсолютные значения, называемые числами Стирлинга первого рода без знака, задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами, и обозначаются   или  :

 

Их производящей функцией является возрастающий факториал:

 

Рекуррентное соотношение править

Числа Стирлинга первого рода задаются рекуррентным соотношением:

 ,
 , для n > 0,
 , для k > 0,
для чисел со знаком:   для  
для чисел без знака:   для  

Пример править

Первые числа Стирлинга со знаком:

n\k 0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 0 1
2 0 −1 1
3 0 2 −3 1
4 0 −6 11 −6 1
5 0 24 −50 35 −10 1
6 0 −120 274 −225 85 −15 1

См. также править

Ссылки править