Открыть главное меню

Число Улама — это член целочисленной последовательности, придуманной и названной в свою честь Станиславом Уламом, в 1964.

Содержание

ОпределениеПравить

Стандартная последовательность Улама (или (1, 2)-числа Улама) начинается с U1 = 1 и U2 = 2. При n > 2, Un определяется, как наименьшее целое число большее Un-1, которое единственным образом разлагается в сумму двух различных более ранних членов последовательности.

ПримерыПравить

Из определения вытекает, что 3 это число Улама (1+2); и 4 это число Улама (1+3). (Тут 2+2 не является вторым представлением 4, потому что предыдущие члены должны быть различными.) Число 5 не является числом Улама, потому что 5 = 1 + 4 = 2 + 3. Последовательность начинается, как:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243, 253, 258, 260, 273, 282, ... последовательность A002858 в OEIS.

Первые числа Улама, которые также являются простыми числами:

2, 3, 11, 13, 47, 53, 97, 131, 197, 241, 409, 431, 607, 673, 739, 751, 983, 991, 1103, 1433, 1489, 1531, 1553, 1709, 1721, 2371, 2393, 2447, 2633, 2789, 2833, 2897, ... последовательность A068820 в OEIS.

Существует бесконечно много чисел Улама, поскольку после добавления первых n членов всегда можно добавить еще один элемент: Un − 1 + Un , который будет однозначно определен, как сумма двух элементов меньше него и мы можем получить еще меньшие элементы используя подобный метод, поэтому следующий элемент можно определить, как наименьший среди этих однозначно определяемых вариантов.[1]

Улам считал, что числа Улама имеют нулевую асимптотическую плотность,[2] однако, по-видимому, она равна 0.07398.[3]

Скрытая структураПравить

Было замечено[4] , что первые 10 миллионов чисел Улама удовлетворяют свойству:   кроме 4 элементов   (и это продолжается и далее, как известно, до  ). Неравенства такого типа обычно верны для последовательностей, обладающих некоторой формой периодичности, но последовательность Улама, как известно, не является периодической, и явление не было объяснено. Его можно использовать для быстрого вычисления последовательности Улама (см. внешние ссылки).

Вариации и обобщенияПравить

Идею можно обобщить как (u, v)-числа Улама, выбрав разные начальные значения (u, v). Последовательность чисел (u, v)-чисел Улама является периодичной, если последовательность разностей между последовательными числами в последовательности периодическая. Когда v - нечетное число больше трех, последовательность (2, v)-чисел Улама является периодической. Когда v совпадает с 1 (по модулю 4) и не менее пяти, последовательность (4, v)-чисел Улама снова периодическая. Однако стандартные числа Улама не являются периодическими.[5]

Последовательность чисел называется s-аддитивной, если каждое число в последовательности после начальных 2s-членов последовательности имеет ровно s-представлений в виде суммы двух предыдущих чисел. Таким образом, числа Улама и (u, v)-числа Улама являются 1-аддитивными последовательностями.[6]

Если последовательность формируется путем добавления наибольшего числа с уникальным представлением в виде суммы двух более ранних чисел, вместо добавления наименьшего однозначно представимого числа, то результирующая последовательность представляет собой последовательность чисел Фибоначчи.[7]

ПримечанияПравить

  1. Recaman (1973) использует похожий аргумент, сформулированный как доказательство от противного. Он утверждает, что если бы было конечное число чисел Улама, то сумма последних двух также была бы числом Улама - противоречие. Однако, хотя сумма последних двух чисел в этом случае имеет единственное представление в виде суммы двух чисел Улама, она не обязательно является наименьшим числом с единственным представлением.
  2. Утверждение, что Улам предполагал это находится в OEIS A002858, но Улам не пытался дать оценку своей последовательности в Ulam (1964a), а в Ulam (1964b) он упоминал проблему асимптотической плотности этого множества, но также не пытался оценить ее. Recaman (1973) повторяет вопрос из Ulam (1964b) об асимптотической плотности, снова не выдвигая предположения о ее значении.
  3. OEIS A002858
  4. Steinerberger (2015)
  5. Queneau (1972) впервые заметил закономерность для u = 2 и v = 7 или v = 9. Finch (1992) первым выдвинул гипотезу о нечетном v больше трех, и она была доказана Schmerl & Spiegel (1994). Периодичность (4, v)-чисел Улама была доказана Cassaigne & Finch (1995).
  6. Queneau (1972).
  7. Finch (1992).

ЛитератураПравить


Внешние ссылкиПравить