Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Шар
Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Связанные определенияПравить

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулыПравить

Площадь поверхности   и объём   шара радиуса   (и диаметром  ) определяются формулами:

  •  
  •  
  •  
  •  

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

ОпределенияПравить

Пусть дано метрическое пространство  . Тогда

  • Шаром (или открытым шаром) с центром в точке   и радиусом   называется множество
 
  • Замкнутым шаром с центром в   и радиусом   называется множество
 

ЗамечанияПравить

Шар радиуса   с центром   также называют  -окрестностью точки  .

СвойстваПравить

 

ОбъёмПравить

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:[1]

 

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле нецелых действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

 ,
 .

В формуле для пространства с нечётным количеством размерностей двойной факториал (2k + 1)!! определён для нечётных чисел 2k + 1 в виде произведения: (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 · … · (2k − 1) · (2k + 1).

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

 .

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

 ,
 .

РекурсияПравить

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности   (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

 .

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

 .

То же без гамма-функции:

 

Пространства младших размерностейПравить

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений Объём шара радиуса R Радиус шара объёма V
1    
2    
3    
4    
5    
6    
7    
8    
9    
10    

Пространства старших размерностейПравить

 
Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

ПримерыПравить

  • если   (пространство — прямая), то
 
 
 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
  • если   (пространство — плоскость), то
     
     
 — открытый и замкнутый диск соответственно.
  • если  , то
     
     
 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
  • В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве   метрику следующим образом:
     
Тогда
  • если  , то   — это открытый квадрат с центром в точке   и сторонами длины  , расположенными по диагонали к координатным осям.
  • если  , то   — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

ЛитератураПравить

Ссылки на онлайн калькуляторыПравить