Шар

(перенаправлено с «Шар (стереометрия)»)
Шар
Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определенияПравить

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулыПравить

Площадь поверхности   и объём   шара радиуса   (и диаметром  ) определяются формулами:

  •  
  •  
  •  
  •  

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

ОпределенияПравить

Пусть дано метрическое пространство  . Тогда

  • Шаром (или открытым шаром) с центром в точке   и радиусом   называется множество
 
  • Замкнутым шаром с центром в   и радиусом   называется множество
 

ЗамечанияПравить

Шар радиуса   с центром   также называют  -окрестностью точки  .

СвойстваПравить

 

ОбъёмПравить

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:[1]

 

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле нецелых действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

 ,
 .

В формуле для пространства с нечётным количеством размерностей двойной факториал (2k + 1)!! определён для нечётных чисел 2k + 1 в виде произведения: (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 · … · (2k − 1) · (2k + 1).

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

 .

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

 ,
 .

РекурсияПравить

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности   (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

 .

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

 .

То же без гамма-функции:

 

Пространства младших размерностейПравить

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений Объём шара радиуса R Радиус шара объёма V
1    
2    
3    
4    
5    
6    
7    
8    
9    
10    

Пространства старших размерностейПравить

 
Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

ПримерыПравить

  • если   (пространство — прямая), то
 
 
 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
  • если   (пространство — плоскость), то
     
     
 — открытый и замкнутый диск соответственно.
  • если  , то
     
     
 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
  • В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве   метрику следующим образом:
     
Тогда
  • если  , то   — это открытый квадрат с центром в точке   и сторонами длины  , расположенными по диагонали к координатным осям.
  • если  , то   — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

ЛитератураПравить

Ссылки на онлайн калькуляторыПравить