Евклидово пространство

Эта статья — о пространстве ℝⁿ со скалярным произведением. О любом пространстве со скалярным произведением см. Предгильбертово пространство.

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство) в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

$n$-мерное евклидово пространство обычно обозначается $\mathbb {E} ^{n}$; также часто используется обозначение $\mathbb {R} ^{n}$, когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Формальное определение

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция $(\cdot ,\cdot ),$ обладающая следующими тремя свойствами:

• Линейность: для любых векторов $\mathbf {u,v,w}$ и для любых вещественных чисел $a,b$ справедливы соотношения $(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)}$;
• Симметричность: для любых векторов $u,v$ верно равенство $\mathbf {(u,v)=(v,u)} ;$
• Положительная определённость: $\mathbf {(u,u)} \geqslant 0$ для любого $u,$ причём $\mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.$

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством.

Пример евклидова пространства — координатное пространство $\mathbb {R} ^{n},$ состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ где скалярное произведение определяется формулой $\mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора $u$ определяется как ${\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}$ и обозначается $|\mathbf {u} |.$ Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что $|a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,$ то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ определяется как $\arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .$ Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом ${\tfrac {\pi }{2}},$ то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от $\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}}$ был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство $\left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.$ Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: $\mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .$ Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция $d\mathbf {(x,y)} ,$ или $\mathbf {|x-y|} ,$ задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ координатного пространства $\mathbb {R} ^{n}$ задаётся формулой $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ и $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$ В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, $n$-мерное евклидово пространство изоморфно $\mathbb {R} ^{n}$ со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора $x$ на подпространство $U$ — это вектор $h,$ ортогональный $U,$ такой что $x$ представим в виде $u+h,$ где $u\in U.$ Расстояние между концами векторов $u$ и $x$ является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора $x$ до подпространства $U.$ Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор $x$ евклидова пространства задаёт линейный функционал $x^{*}$ на этом пространстве, определяемый как $x^{*}(y)=(x,y).$ Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор $\mathbf {v}$, переводящий точку $\mathbf {p}$ в точку $\mathbf {p+v}$. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию $Q^{\mathsf {T}}Q=E$, где $Q^{\mathsf {T}}$ — транспонированная матрица, а $E$ — единичная матрица.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• $\mathbb {E^{1}}$ размерности $1$ (вещественная прямая — к примеру, числовая ось);
• $\mathbb {E^{2}}$ размерности $2$ (евклидова плоскость);
• $\mathbb {E^{3}}$ размерности $3$ (евклидово трёхмерное пространство).

Более абстрактный пример:

• пространство ${\mathcal {P}}^{n}$ вещественных многочленов, степени которых не превосходят n, со скалярным произведением, определённым как интеграл их произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например $e^{-x^{2}}$).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

• правильные многомерные многогранники (например, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр);
• гиперсфера;
• гипертор.

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.