Открыть главное меню

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства обычно обозначается .

Содержание

ОпределенияПравить

где   обозначает число клеток размерности  .
Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.
  • Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

СвойстваПравить

  • Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
    • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
  • Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулю[1].
  • Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равно произведению их эйлеровых характеристик:
 

Эйлерова характеристика полиэдровПравить

  • Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле:   где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:
     
Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Формула Гаусса — БоннеПравить

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности)   без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику   с гауссовой кривизной   многообразия:

 

где   — элемент площади поверхности  .

  • Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем.
  • Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное риманово многообразие, известная, как теорема Гаусса — Бонне — Черна или обобщённая формула Гаусса — Бонне.
  • Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на  [2].
  • Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентируемые и неориентируемые поверхностиПравить

Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

 

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

 

Величина эйлеровой характеристикиПравить

Название Вид Эйлерова характеристика
Отрезок   1
Окружность   0
Круг   1
сфера   2
Тор
(произведение двух окружностей)
  0
Двойной тор   −2
Тройной тор   −4
Вещественная
проективная плоскость
  1
Лист Мёбиуса   0
Бутылка Клейна   0
Две сферы (несвязные)    2 + 2 = 4
Три сферы     2 + 2 + 2 = 6

ИсторияПравить

В 1752 году Эйлер[3] опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

 

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое   где   — количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка:  

В 1899 году Пуанкаре[4] обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

 

где   — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

 

Вариации и обобщенияПравить

ПримечанияПравить

  1. Richeson 2008, p. 261
  2. Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem
  3. L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140–160, 1758. Представлено Санкт-Петербургской Академии 6 апреля 1752 года. Opera Omnia 1(26): 94–108.
  4. H. Poincaré, Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144-145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

ЛитератураПравить

См. такжеПравить