Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства обычно обозначается .

Определения править

где   обозначает число клеток размерности  .
Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.
  • Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства править

  • Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
    • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
  • Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулю[1].
  • Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равна произведению их эйлеровых характеристик:
 

Эйлерова характеристика полиэдров править

  • Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле   где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:
     
Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Формула Гаусса — Бонне править

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности)   без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику   с гауссовой кривизной   многообразия:

 

где   — элемент площади поверхности  .

  • Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем.
  • Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное риманово многообразие, известная, как теорема Гаусса — Бонне — Черна или обобщённая формула Гаусса — Бонне.
  • Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на  [2].
  • Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентируемые и неориентируемые поверхности править

Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

 

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

 

Величина эйлеровой характеристики править

Название Вид Эйлерова характеристика
Отрезок   1
Окружность   0
Круг   1
сфера   2
Тор
(произведение двух окружностей)
  0
Двойной тор   −2
Тройной тор   −4
Вещественная
проективная плоскость
  1
Лист Мёбиуса   0
Бутылка Клейна   0
Две сферы (несвязные)    2 + 2 = 4
Три сферы     2 + 2 + 2 = 6

История править

В 1752 году Эйлер[3] опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

 

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое   где   — количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка:  

В 1899 году Пуанкаре[4] обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

 

где   — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

 

Вариации и обобщения править

См. также править

Примечания править

  1. Richeson 2008, p. 261
  2. Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem. Дата обращения: 19 января 2011. Архивировано 28 июня 2010 года.
  3. L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita Архивная копия от 22 декабря 2012 на Wayback Machine. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербургской Академии 6 апреля 1752 года. Opera Omnia 1(26): 94-108.
  4. H. Poincaré, Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

Литература править

  • Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7—12.
  • Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
  • Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).
  • Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна