Эквихордный центр

Эквихордный центр — точка внутри плоской кривой, такая, что все хорды, проходящие через неё, равны. Кривые, имеющие эквихордный центр, называются эквихордными.

Эквихордная кривая и её эквихордный центр.

Примеры

Эквихордными кривыми являются

• Окружности, центр окружности является её эквихордным центром.
• Подера на кривой постоянной ширины относительно точки $P$ внутри кривой. При этом $P$ является её эквихордным центром.
  • В частности, для окружности получаем улитку Паскаля.

Свойства

• Любая выпуклая кривая имеет не более одного эквихордного центра.
  • То, что выпуклая кривая не может иметь трёх центров, было доказано Фудзиварой в 1916 году; он же сформулировал задачу о том, что двух тоже быть не может. Задача была независимо сформулирована Вильгельмом Бляшке, Германом Роте и Роландом Вайценбёком в 1917 году и решена Мареком Рыхликом в 1997-м. Его доказательство довольно сложное, оно занимает 72 страницы и использует комплексный анализ и алгебраическую геометрию.

Литература

• W. Blaschke, W. Rothe, and R. Weitztenböck. Aufgabe 552. Arch. Math. Phys., 27:82, 1917
• M. Fujiwara. Über die Mittelkurve zweier geschlossenen konvexen Curven in Bezug auf einen Punkt. Tôhoku Math J., 10:99-103, 1916
• Marek R. Rychlik (1997), «A complete solution to the equichordal point problem of Fujiwara, Blaschke, Rothe and Weitzenböck», Inventiones Mathematicae 129 (1): 141—212
• Steven G. Krantz (1997), Techniques of Problem Solving, American Mathematical Society,