Экспонента матрицы

Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.

Для вещественной или комплексной матрицы размера экспонента от , обозначаемая как или , — это матрица , определяемая степенным рядом:

,

где  — kстепень матрицы . Данный ряд всегда сходится, так что экспонента от всегда корректно определена.

Если  — матрица размера , то матричная экспонента от есть матрица размерности , единственный элемент которой равен обычной экспоненте от единственного элемента .

СвойстваПравить

Основные свойстваПравить

Для комплексных матриц   и   размера  , произвольных комплексных чисел   и  , единичной матрицы   и нулевой матрицы  , экспонента обладает следующим свойствами:

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  • если  , то  ;
  • если   — невырожденная матрица, то  .
  •  , где   обозначает транспонированную матрицу для  , отсюда следует, что если   является симметричной, то   тоже симметрична, а если   — кососимметричная матрица, то   — ортогональная;
  •  , где   обозначает эрмитово-сопряжённую матрицу для  , отсюда следует, что если   — эрмитова матрица, то   тоже эрмитова, а если   — антиэрмитова матрица, то   — унитарная.

Системы линейных дифференциальных уравненийПравить

Одна из причин, обуславливающих важность матричной экспоненты, заключается в том, что она может быть использована для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений[1]. Решение системы:

 ,

где   — постоянная матрица, даётся выражением:

 

Матричная экспонента может быть также использована для решения неоднородных уравнений вида

 .

Не существует замкнутого аналитического выражения для решений неавтономных дифференциальных уравнений вида

 ,

где   — не постоянная, но разложение Магнуса[en] позволяет получить представление решения в виде бесконечной суммы.

Экспонента суммыПравить

Для любых двух вещественных чисел (скаляров)   и   экспоненциальная функция удовлетворяет уравнению  , это же свойство имеет место для симметричных матриц — если матрицы   и   коммутируют (то есть  ), то  . Однако для некоммутирующих матриц это равенство выполняется не всегда, в общем случае для вычисления   используется формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа.

В общем случае из равенства   не следует, что   и   коммутируют.

Для эрмитовых матриц существует две примечательные теоремы, связанные со следом экспонент матриц.

Неравенство Голдена — ТомпсонаПравить

Если   и   — эрмитовы матрицы, то[2]:

 ,

где   — след матрицы  . Коммутативность для выполнения данного утверждения не требуется. Существуют контрпримеры, которые показывают, что неравенство Голдена — Томпсона не может быть расширено на три матрицы, а   не всегда является вещественным числом для эрмитовых матриц  ,   и  .

Теорема ЛибаПравить

Теорема Либа, названная по имени Эллиотта Либа[en], гласит, что для фиксированной эрмитовой матрицы  , функция:

 

является вогнутой на конусе положительно-определённых матриц[3].

Экспоненциальное отображениеПравить

Экспонента матрицы всегда является невырожденной матрицей. Обратная к   матрица равна  , это аналог того факта, что экспонента от комплексного числа никогда не равна нулю. Таким образом, матричная экспонента определяет отображение:

 

из пространства всех матриц размерности   на полную линейную группу порядка  , то есть группу всех невырожденных матриц размерности  . Это отображение является сюръекцией, то есть каждая невырожденная матрица может быть записана как экспонента от некоторой другой матрицы (чтобы это имело место необходимо рассматривать поле комплексных чисел  , а не вещественных чисел  ).

Для любых двух матриц   и   имеет место неравенство

 ,

где   обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение является непрерывным и липшицевым на компактных подмножествах  .

Отображение:

 

определяет гладкую кривую в полной линейной группе, которая проходит через единичный элемент при  .

ПриложенияПравить

Линейные дифференциальные уравненияПравить

Пример однородной системыПравить

Для системы:

 

её матрица есть:

 

Можно показать, что экспонента от матрицы   есть

 

таким образом, общее решение этой системы есть:

 

Пример неоднородной системыПравить

Для решения неоднородной системы:

 

вводятся обозначения:

 

и

 

Так как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения дают общее решение неоднородного уравнения, остаётся лишь найти частное решение. Так как:

 
 
 
 

где   — начальное условие.

Обобщение: вариация произвольной постояннойПравить

В случае неоднородной системы можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Ищется частное решение в виде:  :

 

Чтобы   было решением, должно иметь место следующее:

 

Таким образом:

 

где   определяется из начальных условий задачи.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов. — 13-е изд.. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 544—547. — 560 с.
  2. Bhatia, R. Matrix Analysis (неопр.). — Springer, 1997. — Т. 169. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94846-1.
  3. E. H. Lieb. Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture (англ.) // Adv. Math. : journal. — 1973. — Vol. 11, no. 3. — P. 267—288. — doi:10.1016/0001-8708(73)90011-X.

СсылкиПравить