Экспоненциал

Экспоненциал — теоретико-категорный аналог множества функций в теории множеств. Категории, в которых существуют конечные пределы и экспоненциалы, называются декартово замкнутыми.

Определение

Пусть в категории $C$ существуют бинарные произведения. Тогда экспоненциал $Z^{Y}$ можно определить как универсальный морфизм из функтора $[-]\times Y$ в $Z$. (Функтор $[-]\times Y$ из $C$ в $C$ отображает объект $X$ в $X\times Y$ и морфизмы $\varphi$ в $\varphi \times \mathrm {id} _{Y}$).

Более явно, экспоненциал $Z^{Y}$ объектов $Z$ и $Y$ — это такой объект, вместе с морфизмом $eval\colon Z^{Y}\times Y\to Z$, называемым отображением оценки, что для любого объекта $X$ и морфизма $g\colon X\times Y\to Z$ существует единственный морфизм $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$, для которого следующая диаграмма коммутативна:

Universal property of the exponential object

Если экспоненциал $Z^{Y}$ существует для всех $Z$ в $C$, то функтор, отправляющий $Z$ в $Z^{Y}$ является правым сопряжённым к $[-]\times Y$. В этом случае существует естественная биекция:

$\mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})$.

Примеры

В категории множеств экспоненциал $Z^{Y}$ — это множество всех функций из $Y$ в $Z$ (кардинальная степень). Для любого отображения $g\colon (X\times Y)\rightarrow Z$ отображение $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ — это каррированная форма $g$:

$\lambda g(x)(y)=g(x,y)$.

В категории топологических пространств экспоненциал $Z^{Y}$ существует, если $Y$ — локально компактное хаусдорфово пространство. В этом случае $Z^{Y}$ — это множество непрерывных функций из $Y$ в $Z$ с компактно-открытой топологией. Если $Y$ не локально компактное хаусдорфово пространство, экспоненциал может не существовать (пространство $Z^{Y}$ будет существовать, но отображение $\lambda$ может перестать быть непрерывным). По этой причине категория топологических пространств не является декартово замкнутой.

Литература

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George Strecker. Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats) (англ.). — John Wiley & Sons, 2006.