Открыть главное меню

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное (или показательное[1]) распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Показательное распределение
Probability density function Плотность вероятности
Cumulative distribution function Функция распределения
Обозначение
Параметры - интенсивность или обратный коэффициент масштаба
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

ОпределениеПравить

Случайная величина   имеет экспоненциальное распределение с параметром  , если её плотность имеет вид

 .

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно  . Сам параметр   тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины   задана первым уравнением, и будем писать:  .

Функция распределенияПравить

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

 

МоментыПравить

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

 ,

откуда получаем все моменты:

 .

В частности,

 ,
 ,
 .

Отсутствие памятиПравить

Пусть  . Тогда  .

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениямиПравить

  • Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа X[2].
  • Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть   независимые случайные величины, и  . Тогда[3]
 .
 .
  • Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть   независимые случайные величины, и  . Тогда
 .
 .
 
  • Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
  • Пусть   независимые случайные величины, и  и  тогда  

ПримечанияПравить

  1. Андрей Рукосуев, Виктор Башлыков, Константин Балдин. Основы теории вероятностей и математической статистики. Учебник. — Litres, 2016-03-26. — С. 80. — 489 с. — ISBN 9785457365889.
  2. Королюк, 1985, с. 135.
  3. Виктор Каштанов, ‎Алексей Медведев. Теория надежности сложных систем. — 2018. — С. 498. — 608 с.

ЛитератураПравить