Эксцентрическая аномалия

Эксцентрическая аномалия в небесной механике — угловой параметр, определяющий положение тела, движущегося по эллиптической орбите. Эксцентрическая аномалия является одним из трёх угловых параметров («аномалий»), которые определяют положение на орбите. Другие два — истинная аномалия и средняя аномалия.

Графическое представление

Рассмотрим эллипс, заданный уравнением

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

где

$a$ и $b$ — большая и малая полуоси.

Угол $E$ — эксцентрическая аномалия точки $P$. Точка $O$ — центр эллипса, Точка $F$ — фокус.

Для точки эллипса $P=P(x,y)$, отражающей положение тела на эллиптической орбите, эксцентрическая аномалия есть угол $E$ на рисунке. Эксцентрическая аномалия $E$ — один из углов прямоугольного треугольника с вершиной в центре эллипса, один катет которого лежит на большой оси, гипотенуза равна $a$ (большой полуоси эллипса), а второй катет (перпендикулярный большой оси и имеющий конец в точке $P'$ на вспомогательной окружности радиуса $a$) проходит через точку $P$. Эксцентрическая аномалия измеряется в том же направлении, что и истинная аномалия, обозначенная на рисунке как $\theta$. Эксцентричекая аномалия $E$ в терминах этих коорцинат выражается как

$\cos E={\frac {x}{a}}$,

$\sin E={\frac {y}{b}}$.

Второе уравнение устанавливается с использованием соотношения

$\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1-\cos ^{2}E=\sin ^{2}E$,

которое подразумевает, что $\sin E=\pm {\frac {y}{b}}$. Уравнение $\sin E=-{\frac {y}{b}}$ можно сразу исключить, поскольку оно означает движение в обратном направлении. Второе уравнение можно рассматривать как получающееся из подобного треугольника, катет которого имеет длину $y$, равную расстоянию от $P$ до большой оси, а гипотенуза $b$ равна малой полуоси эллипса.

Формулы

Расстояние и эксцентрическая аномалия

Эксцентриситет $e$ определяется как

$e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}$.

Из теоремы Пифагора для треугольника с гипотенузой $FP$, равной $r$:

${\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}$

Таким образом, расстояние связывается с эксцентрической аномалией формулой

$r=a\left(1-e\cos {E}\right)$.

Иногда это выражение называют формулой Утешева.

Используя этот результат, можно определить эксцентрическую аномалию через истинную аномалию.

Через истинную аномалию

Истинная аномалия — угол, обозначенный на рисунке $\theta$. Иногда её также обозначают как $f$ или $\nu$. Истинная аномалия и эксцентрическая аномалия связаны следующим образом.

Используя формулу для $r$ выше, можно выразить синус и косинус $E$ через $f$:

${\begin{aligned}\cos E&={\frac {\,x\,}{a}}={\frac {\,ae+r\cos f\,}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos f\\\Rightarrow \cos E&={\frac {\,e+\cos f\,}{1+e\cos f}}\\\sin E&={\sqrt {\,1-\cos ^{2}E\;}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{1+e\cos f}}~.\end{aligned}}$

Следовательно,

$\tan E={\frac {\,\sin E\,}{\cos E}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{e+\cos f}}~.$

Угол $E$ — угол прямоугольного треугольника с гипотенузой $1+e\cos f$ и катетами $e+\cos f$ и ${\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f$.

Также,

$\tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}$

Подставляя $\cos E$, найденный выше, в выражение для $r$, расстояние от фокуса до точки $P$ можно найти через истинную аномалию:

$r={\frac {a\left(\,1-e^{2}\,\right)}{\,1+e\cos f\,}}={\frac {p}{\,1+e\cos f\,}}\,$,

где

$\,p\equiv a\left(\,1-e^{2}\,\right)$

называется фокальным параметром.

Через среднюю аномалию

Эксцентрическая аномалия $E$ связана со средней аномалией $M$ через уравнение Кеплера:

$M=E-e\sin E$

Это уравнение не имеет аналитического решения для $E$ при данном $M$. Оно обычно решается численными методами, например, методом Ньютона-Рафсона. Оно может быть выражено в виде ряда Фурье как

$E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)$

где $J_{n}(x)$ — функция Бесселя первого рода.

Литература

• Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, GB
• Plummer, Henry C. K. (1960); An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition)