Открыть главное меню

Элемента́рный то́пос — категория, в некотором смысле похожая на категорию множеств, основной предмет изучения теории топосов. Средствами элементарных топосов может быть описана аксиоматика как самой теории множеств, так и альтернативных теорий и логик, например, интуиционистская логика.

ОпределениеПравить

Элементарный топос — это декартово замкнутая конечно полная категория, в которой существует выделенный объект  , называемый классификатором подобъектов, и мономорфизм в него из терминального объекта  , называемый истиной (также обозначается  ), такой что для любого мономорфизма   существует единственный морфизм  , для которого диаграмма

является декартовым квадратом.

Иначе говоря, элементарный топос — это категория, имеющая терминальный объект и расслоённые произведения, а также экспоненциал   любых двух объектов   и   и классификатор подобъектов  .

СвойстваПравить

  • Любой элементарный топос является конечно полным (по определению) и конечно кополным.

ПримерыПравить

  • Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является топос множеств. В нём экспоненциал множеств   и   — это множество   отображений из   в  . Классификатор подобъектов — это множество  , при этом   — естественное вложение   в  , а   — характеристическая функция подмножества   множества  , равная 1 на элементах   и 0 на элементах  . Подобъекты   — это его подмножества.
  • Категория конечных множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
  • Для любой категории   категория функторов   является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов   функтор морфизмов   даётся формулой
 
Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов   на объекте   равен множеству подфункторов представимого функтора  .
  • Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству   его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению,  , то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе  . Единственное отличие:   есть множество всех подпучков представимого пучка  .
  • Более общо, для любой категории   с заданной топологией Гротендика   категория  -пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
  • Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ни одной точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать локали, при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.

ЛитератураПравить

  • Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  • П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
  • F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3.
  • P. T. Johnstone. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X.