Эллиптические функции Якоби

(перенаправлено с «Эллиптическая функция Якоби»)

Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного и вспомогательных тета-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение для . Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сделано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.

ВведениеПравить

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

ОбозначениеПравить

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды  , или обычно, в терминах  , данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра  , или как эллиптический модуль  , где  , или в терминах модулярного угла  , где  .

Определение как обратные к эллиптическим интеграламПравить

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Пусть

 

Эллиптическая функция   задаётся как

 

и   определяется

 

а

 

Здесь угол   называется амплитудой.   называется дельта амплитудой. Значение   является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне  , и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды   и параметра  .

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда  , то   равен четверти периода  .

Определение в терминах тета-функцийПравить

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим   как  , и   соответственно как   (тета константы) тогда эллиптический модуль   равен  . Полагая  , получим

 


 


 

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля  , необходимо найти обратные к ним и выразить   в терминах  . Начнём с дополнительного модуля  . Как функция   запишем

 

Введём обозначение

 

Определим также ном   как   и разложим   в ряд по степеням нома  . Получим

 

Обращение ряда даёт

 

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть   больше или равна  , мы можем сказать, что значение   меньше или равно  . Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для  .

Другие функцииПравить

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:

 
 
 

Отношения трёх главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:

 
 
 
 
 
 

Более кратко запишем

 

где все буквы  ,  , и   являются любыми буквами  ,  ,  ,   (следует помнить, что  ).

Дополнительные теоремыПравить

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

 
 

Видно, что ( ,  ,  ) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определённой вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби

 


 


 

Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптическихПравить

  • Если  , то
 

Отсюда

 

Отсюда

 

и

 

Таким образом, при   эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

  • Если  , то
 

Отсюда

 

а также

 
 

Таким образом, при   эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Соотношение между квадратами функцийПравить

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения

 
 
 
 

где   и  .

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что  , а также  , где  ,  ,   — любые буквы  ,  ,  ,   и  .

НомПравить

Пусть ном равен   и пусть аргумент —  . Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

 
 
 

Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравненийПравить

Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде:

 


 


 

Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного   ( ) уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

  •   является решением уравнения   и  
  •   является решением уравнения   и  
  •   является решением уравнения   и  

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций (неопр.). — М.: Наука, 1970.
  • Ватсон Дж. Н., Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцендентные функции (рус.). — М.: Мир, 1963. или Москва: УРСС, 2010