Открыть главное меню

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

,

где  — рациональная функция двух аргументов,  — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени, не имеющего кратных корней,  — некоторая константа из поля, где определена функция.

В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях. Исключением являются случаи, когда имеет кратные корни или когда многочлены в не содержат нечётных степеней .

Однако для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов, называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).

Содержание

ИсторияПравить

В интегральном исчислении эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно, а позднее — Леонардом Эйлером.

ОбозначенияПравить

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

  •   — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой  );
  •   — модуль эллиптического интеграла;
  •   — параметр.

Следует отметить, что нормальные эллиптические интегралы Лежандра, как полные, так и неполные, являются чётными функциями модуля   (и модулярного угла  ). Их область определения  

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

  •   где   — эллиптическая функция Якоби;
  •   — амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что   зависит также и от  . Несколько дополнительных уравнений связывают   с другими параметрами:

 

и

 

Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как

 

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:

  •   — дополнительный параметр;
  •   — дополнительный модуль;
  •   — дополнительный модулярный угол.

Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)Править

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода   определяется как

 ,

или, в форме Якоби,

 .

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

 .

Частные случаиПравить

 ;
 ;
 ;
 ;


Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)Править

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как

 

или, используя подстановку  

 

Частные случаиПравить

 ;
 ;
 ;
 ;


Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)Править

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода   определяется как

 

или

 

Число   называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла   стремится к бесконечности для любых  .

Гиперболический случайПравить

(0 < c < m)Править

Введём дополнительные обозначения:

 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

Тогда можно записать эллиптический интеграл через тета-функции Якоби:

 

где

 

и

 

(c > 1)Править

С помощью подстановки   этот случай сводится к предыдущему, так как  

Введём дополнительно величину

 

Тогда:

 

Круговой случайПравить

(m < c < 1)Править

Введем дополнительные обозначения:

 
 
 
 
 

Тогда эллиптический интеграл равен:

 

где

 

и

 

(c < 0)Править

С помощью подстановки   этот случай сводится к предыдущему, так как  

Введем дополнительно величину

 

Тогда:

 

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го родаПравить

В случае, если амплитуда   нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна  , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

 

или

 

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:

 

что эквивалентно выражению

 

где   обозначает двойной факториал.

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

 

Частные случаиПравить

 
 
 
 
 
 
 
 

Производная полного эллиптического интеграла 1-го родаПравить

 

где   — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, определённый в следующем разделе.

Дифференциальное уравнениеПравить

Полный эллиптический интеграл 1-го рода является решением дифференциального уравнения

 

Вторым решением этого уравнения является  

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го родаПравить

В случае, если амплитуда   нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна  , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

 

или

 

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:

 

что эквивалентно выражению

 

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

 

Частные случаиПравить

 
 
 
 
 

Производная полного эллиптического интеграла 2-го родаПравить

 

Дифференциальное уравнениеПравить

Полный эллиптический интеграл 2-го рода является решением дифференциального уравнения

 

Вторым решением этого уравнения является функция  

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го родаПравить

Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и 2-го рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

 

или

 

Гиперболический случайПравить

(0 < c < m)Править

 ,

где   — дзета-функция Якоби.

(c > 1)Править

 

Круговой случайПравить

(m < c < 1)Править

 

где   — лямбда-функция Хеймана.

(c < 0)Править

 

Частные производныеПравить

 

Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)Править

Дзета-функция ЯкобиПравить

 

Лямбда-функция ХейманаПравить

 

или

 

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

  • Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Мир, 1979. (См. гл. 17).
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.
  • Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т. 3 (гл. 13).
  • Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптический функций. (гл. 3, 7).
  • Эллиптические функции (недоступная ссылка), Процедуры для Matlab.