Эрмитова интерполяция

Эрмитова интерполяция - метод полиномиальной интерполяции, названный в честь французского математика Шарля Эрмита. Многочлены Эрмита тесно связаны с многочленами Ньютона.

В отличие от интерполяции Ньютона, эрмитова интерполяция строит многочлен, значения которого в выбранных точках совпадают со значениями исходной функции в этих точках, и производные многочлена в данных точках совпадают со значениями производных функции (до некоторого порядка m). Это означает, что n(m + 1) величин

должны быть известны, тогда как для ньютоновской интерполяции необходимы только первые n значений. Полученный многочлен может иметь степень не более, чем n(m + 1) − 1, максимальная степень многочлена Ньютона же равна n − 1. (В общем случае m не обязательно должно быть фиксировано, то есть в одних точках может быть известно значение большего количества производных, чем в других. В этом случае многочлен будет иметь степень N − 1, где N - число известных значений.)

ИспользованиеПравить

Простой случайПравить

При использовании разделенных разностей для вычисления многочлена Эрмита, первым шагом является копирование каждой точки m раз. (Здесь мы рассмотрим простой случай, когда для всех точек  .) Поэтому, дана   точка  , и значения   и   функции f, которую мы хотим интерполировать. Определим новый набор данных

 

такой, что

 

Теперь определим таблицу разделенных разностей для точек  . Однако, для некоторых разделенных разностей

 

что есть неопределенность! В этом случае заменим эту разделенную разность значением  , а другие вычислим обычным способом.

Общий случайПравить

В общем случае полагаем, что в данных точках   известны производные функции f до порядка k включительно. Тогда набор данных   содержит k копий  . При создании таблицы разделенных разностей при   одинаковые значения будут вычислены как

 .

Например,

 
 

и так далее.

ПримерПравить

Рассмотрим функцию  . Вычислив значения функции и её первых двух производных в точках  , получим следующие данные:

x ƒ(x) ƒ'(x) ƒ''(x)
−1 2 −8 56
0 1 0 0
1 2 8 56

Так как мы работаем с двумя производными, строим множество  . Таблица разделенных разностей тогда имеет вид:

 

и получаем многочлен

 

взятием коэффициентов диагонали таблицы разделенных разностей, и умножением коэффициента с номером k на  , как при получении многочлена Ньютона.

ОшибкаПравить

Назовем найденный многочлен H и исходную функцию f. Для точек  , функция ошибки определяется как

 ,

где c неизвестная из диапазона  , K - общее число данных значений плюс один, а   - число производных, известных в каждой точке  , плюс один.

См. такжеПравить