Формула Карно

(перенаправлено с «Японская теорема о вписанном многоугольнике»)

Фо́рмула Карно́ — теорема геометрии треугольника, которая связывает сумму расстояний от произвольной точки плоскости до 3 сторон треугольника и радиусы его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь Лазара Карно (17531823).

ФормулировкаПравить

Пусть D — центр описанной окружности треугольника ABC.

Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком минус, когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна  , где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной.

В частности

 

при правильном выборе знаков[1]:p.83.

Другая формулировкаПравить

Формула Карно[2]:

 

где   — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон   треугольника (они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), а   — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин   треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны   треугольника равно:

 

расстояние от ортоцентра например до вершины   треугольника равно:

 

ЗамечанияПравить

  • В доказательстве теоремы используется теорема Птолемея.
  • Формулу Карно часто называют теоремой Карно[3].

СледствияПравить

  • Японская теорема о вписанном многоугольнике:[3] Если вписанный  -угольник разрезать на   треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
    • Более того, выпуклый  -угольник является вписанным, если это условие соблюдается.

 

 

Суммы радиусов зелёных и красных окружностей равны.

ПримечанияПравить

  1. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
  3. 1 2 Хонсбергер, 1990.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить