Японская теорема о вписанном четырёхугольнике

Японская теорема о вписанном четырёхугольнике утверждает, что центры окружностей, вписанных в определённые треугольники внутри вписанного в окружность четырёхугольника, являются вершинами прямоугольника.

M1M2M3M4 является прямоугольником.

Разбиение произвольного вписанного четырёхугольника диагоналями даёт четыре перекрывающих друг друга треугольника каждая диагональ создаёт два треугольника). Центры вписанных в эти треугольники окружностей образуют прямоугольник.

В частности, пусть ABCD — произвольный вписанный четырёхугольник и пусть M1, M2, M3, M4 — центры вписанных в треугольники ABD, ABC, BCD, ACD окружностей. Тогда четырёхугольник, образованный центрами M1, M2, M3, M4, является прямоугольником.

Доказательство[1]Править

(поскольку является биссектрисой угла , а является биссектрисой угла )

Аналогично получаем

Поскольку четырёхугольник вписанный, имеем , откуда следует, что четырёхугольник тоже вписан в окружность, так что получаем

Аналогично получаем

А следовательно,

Тем же самым способом доказываем для других углов. Получаем, что все четыре угла четырёхугольника прямые. Теорема доказана

Заметим, что доказательство этой теоремы легко обобщается до доказательства японской теоремы о вписанных многоугольниках (Japanese theorem for cyclic polygons).

Из случая четырёхугольника немедленно вытекает доказательство для общего вписанного многоугольника (по индукции по числу треугольников в разбиении многоугольника).


Замечание 1Править

Для вписанного четырёхугольника японская теорема о вписанном четырёхугольнике является составной частью более сложного утверждения:


См. такжеПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

  1. Andreescu, Enescu, 2004, с. 45.
  2. Andreescu, Enescu, 2004, с. 2.3 Cyclic quads.