Яркостная температура

Яркостная температура — фотометрическая величина, характеризующая интенсивность излучения. Часто используется в радиоастрономии.

В диапазоне частот

По определению, яркостная температура $T_{b}$ в диапазоне частот $\Delta \nu$ — это такая температура, которую имело бы абсолютно чёрное тело, обладающее такой же интенсивностью в данном диапазоне частот. Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела задается формулой Планка:

$I_{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\exp {\frac {h\nu }{kT}}-1}}$, где

$\nu$ — частота излучения, $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света, $k$ — постоянная Больцмана. Отсюда имеем:

$T_{b}={\frac {h\nu }{k}}\ln ^{-1}\left(1+{\frac {2h\nu ^{3}}{I_{\nu }c^{2}}}\right)$

Для случая низких частот $h\nu \ll kT$ формула Планка сводится к формуле Рэлея-Джинса:

$I_{\nu }={\frac {2\nu ^{2}kT}{c^{2}}}$

Тогда яркостная температура выражется:

$T_{b}={\frac {I_{\nu }c^{2}}{2k\nu ^{2}}}$

В диапазоне длин волн

Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в диапазоне длин волн задается формулой Планка для длин волн:

$I_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{kT\lambda }}-1}}$, где

Отсюда яркостная температура в диапазоне длин волн $\Delta \lambda$ выражается формулой:

$T_{b}={\frac {hc}{k\lambda }}\ln ^{-1}\left(1+{\frac {2hc^{2}}{I_{\lambda }\lambda ^{5}}}\right)$

Для длинноволнового излучения $hc/\lambda \ll kT$ яркостная температура выражется:

$T_{b}={\frac {I_{\lambda }\lambda ^{4}}{2kc}}$

Для излучения, близкого к монохроматическому, яркостную температуру можно выразить через энергетическую яркость $I$ и длину когерентности $L$:

$T_{b}={\frac {\pi I\lambda ^{2}L}{4kc\ln {2}}}$

Нужно отметить, что яркостная температура не является температурой в привычном понимании. Она характеризует излучение, и в зависимости от механизма излучения может значительно отличаться от физической температуры излучающего тела (хотя построить устройство, которое будет нагреваться источником излучения с некоторой яркостной температурой до реальной температуры, равной яркостной, теоретически возможно). У нетепловых источников яркостная температура может быть очень высокой. У пульсаров она достигает $10^{26}$K. Для излучения гелий-неонового лазера мощностью 60 мВт с длиной когерентности 20 см, сфокусированного в пятне диаметром 10 мкм, яркостная температура составит почти 14⋅10⁹ К. Для чисто тепловых источников их яркостная температура совпадает с их физической температурой.

См. также

• Температура
• Антенная температура
• Шумовая температура антенны

Литература

1. Каплан С. А. Элементарная радиоастрономия. — «Наука», 1966.