CW-комплекс

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой (разбиением на клетки), введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Определения

Открытая n-мерная клетка — топологическое пространство, гомеоморфное открытому n-мерному шару (в частности, нульмерная клетка — это пространство-синглетон). CW-комплекс — хаусдорфово топологическое пространство X, представленное в виде объединения открытых клеток таким образом, что для каждой открытой n-мерной клетки существует непрерывное отображение f из замкнутого n-мерного шара в X, ограничение которого на внутренность шара является гомеоморфизмом на эту клетку (характеристическое отображение). При этом предполагаются выполненными два свойства:

• (С) Граница каждой клетки содержится в объединении конечного числа клеток меньших размерностей;
• (W) Подмножество пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с замыканием каждой клетки.

Обозначения C и W происходят от английских слов closure-finiteness и weak topology.

Размерность клеточного комплекса определяется как верхняя грань размерностей его клеток. n-й остов клеточного комплекса — это объединение всех его клеток, размерность которых не превосходит n, стандартные обозначения для n-го остова клеточного комплекса X — Xⁿ или sk_n X. Подмножество клеточного комплекса называется подкомплексом, если оно замкнуто и состоит из целых клеток; В частности, любой остов комплекса является его подкомплексом.

Любой CW-комплекс можно построить индуктивно, посредством следующей процедуры:

• начинаем с дискретного множества $X^{0}$, точки которого считаем нульмерными клетками;
• по индукции образуем n-й остов из (n − 1)-го, приклеивая к нему n-мерные клетки посредством произвольных непрерывных отображений $\varphi _{\alpha }:S^{n-1}\to X^{n-1}.$ Другими словами, пространство $X^{n}$ — это факторпространство несвязного объединения $X^{n-1}$ и набора шаров $D_{\alpha }$ по отношению эквивалентности $x\sim \varphi _{\alpha }(x),$ если $x\in \partial D_{\alpha }.$
• Можно закончить индуктивный процесс на конечном этапе, положив $X=X^{n},$ либо продолжать его бесконечно, положив $X=\varinjlim X_{i}$. Топология прямого предела совпадает со слабой топологией: подмножество $\varinjlim X_{i}$ замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с каждым $X_{i}.$

Примеры

• Пространство $\{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subset \mathbb {C}$ гомотопически эквивалентно CW-комплексу (так как оно стягиваемо), но на нём невозможно ввести структуру CW-комплекса (поскольку все CW-комплексы являются локально стягиваемыми).
• Гавайская серьга — пример топологического пространства, гомотопически не эквивалентного никакому CW-комплексу.
• Любой многогранник естественным образом наделяется структурой CW-комплекса, а граф — одномерного CW-комплекса.
• n-мерная сфера допускает клеточную структуру с одной нульмерной клеткой и одной n-мерной клеткой (так как n-мерная сфера гомеоморфна факторпространству n-мерного шара по его границе). Другое клеточное разбиение использует тот факт, что вложение «экватора» $S^{n-1}\to S^{n}$ делит сферу на две n-мерных клетки (верхнюю и нижнюю полусферы). По индукции, это позволяет получить клеточное разбиение n-мерной сферы с двумя клетками в каждой размерности от 0 до n, а применение конструкции прямого предела позволяет получить клеточное разбиение сферы $S^{\infty }$.
• Вещественное проективное пространство $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ допускает клеточную структуру с одной клеткой в каждой размерности, а $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ — с одной клеткой в каждой чётной размерности.
• Грассманиан допускает разбиение на клетки, называемые клетками Шуберта.
• Для любого компактного гладкого многообразия можно построить гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс (например, с помощью функции Морса).

Клеточные гомологии

Сингулярные гомологии CW-комплекса можно вычислять с помощью клеточных гомологий, то есть гомологий клеточного цепного комплекса

$\cdots \to {H_{n+1}}(X^{n+1},X^{n})\to {H_{n}}(X^{n},X^{n-1})\to {H_{n-1}}(X^{n-1},X^{n-2})\to \cdots ,$

где $X^{-1}$ определяется как пустое множество.

Группа ${H_{n}}(X^{n},X^{n-1})$ является свободной абелевой группой, образующие которой могут быть отождествлены с ориентированными n-мерными клетками CW-комплекса. Граничные отображения строятся следующим образом. Пусть $e_{n}^{\alpha }$ — произвольная n-мерная клетка $X,$ $\chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong S^{n-1}\to X^{n-1}$ — ограничение её характеристического отображения на границу, а $e_{n-1}^{\beta }$ — произвольная (n − 1)-мерная клетка. Рассмотрим композицию

$\chi _{n}^{\alpha \beta }:S^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X^{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X^{n-1}/\left(X^{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,S^{n-1},$

где первое отображение отождествляет $S^{n-1}$ с $\partial e_{n}^{\alpha },$ отображение $q$ — факторизация, а последнее отображение отождествляет $X^{n-1}/\left(X^{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)$ с $S^{n-1}$ при помощи характеристического отображения клетки $e_{n-1}^{\beta }$. Тогда граничное отображение

$d_{n}:{H_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {H_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})$

задаётся формулой

${d_{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },$

где $\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)$ — степень отображения $\chi _{n}^{\alpha \beta }$ и сумма берётся по всем (n − 1)-мерным клеткам $X$.

В частности, если в клеточном комплексе нет двух клеток, размерности которых отличаются на единицу, то все граничные отображения зануляются и группы гомологий являются свободными. Например, ${H_{n}}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$ для чётных $n$ и нулю для нечётных.

Свойства

Гомотопическая категория CW-комплексов, по мнению ряда экспертов, является лучшим вариантом для построения теории гомотопии. Одно из «хороших» свойств CW-комплексов — теорема Уайтхеда (слабая гомотопическая эквивалентность между CW-комплексами является гомотопической эквивалентностью). Для любого топологического пространства существует слабо гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс. Другой полезный результат состоит в том, что представимые функторы в гомотопической категории CW-комплексов обладают простой характеризацией в категорных терминах (теорема Брауна о представимости). Цилиндр, конус и.надстройка над CW-комплексом обладают естественной клеточной структурой.

С другой стороны, произведение CW-комплексов с естественным разбиением на клетки не всегда является CW-комплексом — топология произведения может не совпадать со слабой топологией, если оба комплекса не являются локально компактными. Однако топология произведения в категории компактно порождённых пространств совпадает со слабой топологией и всегда задаёт CW-комплекс. Пространство функций Hom(X, Y) с компактно-открытой топологией, вообще говоря, не является CW-комплексом, однако, согласно теореме Джона Милнора, гомотопически эквивалентно CW-комплексу при условии компактности X.

Накрытие CW-комплекса X может быть наделено структурой CW-комплекса таким образом, что его клетки гомеоморфно отображаются на клетки X.

Конечные CW-комплексы (комплексы с конечным числом клеток) компактны. Любое компактное подмножество CW-комплекса содержится в конечном подкомплексе.

Литература

• J. H. C. Whitehead. Combinatorial homotopy. I. // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 213–245.
• J. H. C. Whitehead. Combinatorial homotopy. II. // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 453–496.
• Хатчер, А. Алгебраическая топология / Пер. с англ. В. В. Прасолова под ред. Т. Е. Панова. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.
• А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с.