D-матрица Вигнера

$D$-матрица Вигнера представляет собой матрицу неприводимого представления групп SU (2) и SO (3). Комплексное сопряжение $D$-матрицы является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жёстких ротаторов. Матрица была введена в 1927 году Юджином Вигнером.

Определение D-матрицы Вигнера

Пусть $J_{x}$, $J_{y}$, $J_{z}$ образующие алгебры Ли $\mathrm {SU} (2)$ и $\mathrm {SO} (3)$. В квантовой механике эти три оператора являются компонентами векторного оператора известного как угловой момент. Примерами могут служить момент электрона в атоме, электронный спин и момент количества движения жёсткого ротатора. Во всех случаях три оператора удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям

$[J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},\;J_{z}]=iJ_{x},$

где $i$ это чисто мнимое число и постоянная Планка $\hbar$ был задана равной единице. Оператор

$J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$

является оператором Казимира из $\mathrm {SU} (2)$ (или $\mathrm {SO} (3)$, в зависимости от обстоятельств). Он может быть диагонализирован вместе с $J_{z}$ (Выбор этого оператора определяется соглашением), который коммутирует с $J^{2}$. То есть, можно показать, что существует полный набор кетов с

$J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,$

где $j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots$ и $m=-j,\ -j+1,\ldots ,\ j$. Для $\mathrm {SO} (3)$ квантовое число $j$ является целым.

Оператор поворота можно записать в виде

${\mathcal {R}}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )=e^{-i\gamma J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\alpha J_{z}},$

где $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ — углы Эйлера.

$D$-матрица Вигнера представляет собой квадратную матрицу размерности $2j+1$ с общим элементом

$D_{m'm}^{j}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\gamma }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\alpha }.$

Матрица с общим элементом

$d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle$

известна как малая $d$-матрица Вигнера.

Список элементов d-матрицы

для $j=1/2$

• $d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)$
• $d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)$

для $j=1$

• $d_{1,\;1}^{1}={\frac {1+\cos \theta }{2}}$
• $d_{1,\;0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2}}}$
• $d_{1,\;-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta }{2}}$
• $d_{0,\;0}^{1}=\cos \theta$

для $j=3/2$

• $d_{3/2,\;3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$
• $d_{3/2,\;1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}$
• $d_{3/2,\;-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$
• $d_{3/2,\;-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}$
• $d_{1/2,\;1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$
• $d_{1/2,\;-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}$

для $j=2$

• $d_{2,\;2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}$
• $d_{2,\;1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)$
• $d_{2,\;0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta$
• $d_{2,\;-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)$
• $d_{2,\;-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}$
• $d_{1,\;1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)$
• $d_{1,\;0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta$
• $d_{1,\;-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)$
• $d_{0,\;0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)$

Элементы $d$-матрицы Вигнера с обратными нижними индексами находятся следующим соотношением:

$d_{m',\;m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,\;m'}^{j}=d_{-m,\;-m'}^{j}$.

См. также

• Коэффициенты Клебша — Гордана