G-функция Барнса

G-функция Барнса (обычно обозначаемая ) — функция, которая расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел. Она связана с Гамма-функцией, K-функцией и постоянной Глейшера—Кинкелина. -функция названа в честь английского математика Эрнеста Уильяма Барнса[1].

Формально -функция Барнса определяется (в форме произведения Вейерштрасса) как

где  — постоянная Эйлера—Маскерони.

Дифференциальные уравнения, функциональные уравнения и частные значенияПравить

 -функция Барнса удовлетворяет разностному уравнению

 

Таким образом,

 , где  суперфакториал  .

Например,

 

если принять, что  . В дифференциальном уравнении подразумевается, что   принимает следующие значение при целых значениях аргумента:

 

таким образом

 

где Γ — Гамма-функция и K — K-функция. Дифференциальное уравнение единственным образом определяет  -функцию, если добавлено условие выпуклости:  [2].

Дифференциальное уравнение для  -функции и функциональное уравнение для Гамма-функции приводят к следующим функциональным уравнениям для  -функции, доказанным Германом Кинкелином:

 

Формула умноженияПравить

Схожая с Гамма-функцией,  -функция также имеет формулу умножения[3]:

 

где

 

Здесь   — это дзета-функция Римана,   — это постоянная Глейшера—Кинкелина.

ПримечанияПравить

  1. E.W. Barnes, «The theory of the G-function», Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264—314.
  2. M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL , Astérisque 61, 235—249 (1979).
  3. I. Vardi, Determinants of Laplacians and multiple gamma functions, SIAM J. Math. Anal. 19, 493—507 (1988).