пространства (или пространства Эйленберга — Маклейна)топологические пространства с единственной нетривиальной гомотопической группой в размерности .

Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.

Определение

править

Пусть   — группа и   — положительное целое число. Линейно связное топологическое пространство   называется   пространством, если оно имеет  -ную гомотопическую группу   изоморфную  , а все остальные гомотопические группы   тривиальны.

Если  , то необходимо предположить, что   коммутативна.

Существование и единственность

править

При данных   и  , пример   пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из  -мерных сфер, по одной на каждую образующую группы  , и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности  .

Примеры

править
  • Окружность   является   пространством.
  • Бесконечномерное вещественное проективное пространство   является   пространством.
  • Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере   является   пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.
  • Любое компактное связное неположительной секционной кривины многообразие M является  , где   является фундаментальной группой М.
  • Бесконечномерное комплексное проективное пространство   является   пространством. Его кольцо когомологий   а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей   в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.

Свойства

править
  • Произведение   и   пространств является   пространством.
  • Предположим, что    пространство, и   — произвольный CW-комплекс. Тогда для множества гомотопических классов отображений   существует естественная биекция с группой когомологий  . Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий.
  • Пространство петель пространства   пространства является   пространством.

См. также

править

Литература

править
  • Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология. — М.: МГУ, 1969.