K(G,n) пространство
Эту страницу предлагается переименовать в «Пространство Эйленберга — Маклейна». |
пространства (или пространства Эйленберга — Маклейна) — топологические пространства с единственной нетривиальной гомотопической группой в размерности .
Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.
Определение
правитьПусть — группа и — положительное целое число. Линейно связное топологическое пространство называется пространством, если оно имеет -ную гомотопическую группу изоморфную , а все остальные гомотопические группы тривиальны.
Если , то необходимо предположить, что коммутативна.
Существование и единственность
правитьПри данных и , пример пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из -мерных сфер, по одной на каждую образующую группы , и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности .
Примеры
править- Окружность является пространством.
- Бесконечномерное вещественное проективное пространство является пространством.
- Сумма букет k окружностей это для — свободная группа с k образующими.
- Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере является пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.
- Любое компактное связное неположительной секционной кривины многообразие M является , где является фундаментальной группой М.
- То же верно для локально CAT(0) пространств.
- Бесконечномерное комплексное проективное пространство является пространством. Его кольцо когомологий а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.
Свойства
править- пространство единствененно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности.
- Произведение и пространств является пространством.
- Предположим, что — пространство, и — произвольный CW-комплекс. Тогда для множества гомотопических классов отображений существует естественная биекция с группой когомологий . Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий.
- Пространство петель пространства пространства является пространством.
См. также
править- Асферическое пространство — K(G,1) пространство.
- Гомологическая сфера
Литература
править- Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология. — М.: МГУ, 1969.
- Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1945), "Relations between homology and homotopy groups of spaces", Annals of Mathematics, (Second Series), 46 (3): 480—509, doi:10.2307/1969165
- Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1950), "Relations between homology and homotopy groups of spaces. II", Annals of Mathematics, (Second Series), 51 (3): 514—533, doi:10.2307/1969365
- Morita, Kiiti. Čech cohomology and covering dimension for topological spaces (англ.) // Fundamenta Mathematicae : journal. — 1975. — Vol. 87. — P. 31—52. — doi:10.4064/fm-87-1-31-52.
- Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1957. — Vol. 43, no. 1. — P. 169—172. — doi:10.1073/pnas.43.1.169. — PMID 16589993.
- Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Ann. Math. : journal. — 1957. — Vol. 66, no. 1. — P. 1—26. — doi:10.2307/1970113.