K-теория

K-теория — математическая теория, изучающая кольца, порождённые векторными расслоениями над топологическими пространствами или схемами. В алгебраической топологии эта обобщённая теория когомологий называется топологической K-теорией. В алгебре и алгебраической геометрии соответствующий раздел называется алгебраической K-теорией. Также она играет важную роль в операторных алгебрах и её можно рассматривать как теорию определенных видов инвариантов больших матриц[1].

K-теория предполагает построение семейств K-функторов, переводящих топологические пространства или схемы в соответствующие кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и с функторами в категорию групп, используемой в алгебраической топологии, это функториальное отображение даёт возможность легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных из подхода K-теории, включают теорему Гротендика — Римана — Роха, периодичность Ботта, теорему индекса Атии — Зингера и операции Адамса.

В физике высоких энергий K-теория и, в частности, K-теория c кручением используется в теории струн типа II, где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны, напряжённости поля Рамонда — Рамонда, а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях.

В физике конденсированного состояния K-теория была использована для классификации топологических изоляторов, сверхпроводников и устойчивых поверхностей Ферми.

Конструкция ГротендикаПравить

Конструкция Гротендика является необходимым компонентом для построения K-теории. Пусть   -- моноид. Обозначим через   следующее отношение эквивалентности на  

 

если существует   такое что   Тогда множество   имеет структуру группы  , где:

 

Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные разности элементов в абелевом моноиде.

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелева моноида  . Обозначим единицу моноида как  . Во-первых,   для любого  , так как мы можем положить   и применить равенство из соотношения эквивалентности, чтобы получить  . Это означает

 

следовательно, у нас есть аддитивный обратный для каждого элемента в  . Поэтому на классы эквивалентности   можно смотреть как на формальные разности  . Другим полезным наблюдением является инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:

  для всех  

Конструкцию Гротендика можно рассматривать как функтор  . Он сопряжён слева по отношению к соответствующему забывающему функтору   Другими словами, если   -- абелев моноид,   -- абелева группа, то каждому гомоморфизму абелевых моноидов   можно сопоставить единственный гомоморфизм групп  .

Наглядным примером для рассмотрения является абелев моноид   -- множество натуральных чисел. Мы можем видеть, что  . Для любой пары   мы можем найти минимальный представитель  , используя инвариантность при масштабировании. Например,

 

Вообще, если мы положим  , то найдем, что

 , которое имеет форму   или  

Это показывает, что мы можем рассматривать   как положительные целые числа, а   -- как отрицательные целые числа.

ОпределенияПравить

Существует ряд основных определений K-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Пусть   -- компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим как   множество конечномерных векторных расслоений над   с точностью до изоморфизма, и пусть класс изоморфизма векторного расслоения   обозначается  . Так как классы изоморфизма векторных расслоений ведут себя хорошо по отношению к прямым суммам, мы можем определить прямую сумму двух элементов   как

 

Ясно, что   является абелевым моноидом, где единица задается тривиальным векторным расслоением  . Тогда мы сможем применить конструкцию Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелева моноида. Эта группа называется К-теорией   и обозначается  .

Теорема Серра—Cвана[en] позволяет дать альтернативное описание векторных расслоений как проективных модулей над кольцом   непрерывных комплекснозначных функций на   Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц  . Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и образовать абелев моноид  . Его конструкция Гротендика также называется  .

В алгебраической геометрии та же конструкция может быть применена к алгебраическим векторным расслоениям над гладкими схемами. Также есть альтернативная конструкция для любой нётеровой схемы  . А именно, на множестве   классов изоморфизма когерентных пучков на   можно ввести отношение эквивалентности:   если есть короткая точная последовательность

 

Это дает группу  , которая изоморфна  , если схема   гладкая. На группе   также есть структура кольца, определяемая как

 

Используя теорему Гротендика — Римана — Роха[en], мы имеем, что

 

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать   для теории пересечений.

Ранняя историяПравить

Можно сказать, что эта тема начинается с Александра Гротендика (1957), который использовал его для формулировки своей теоремы Гротендика — Римана — Роха. Название "K-теория" происходит от немецкого "Klasse" ("класс"). Гротендик исследовал когерентные пучки на алгебраическом многообразии "X". Вместо того, чтобы работать непосредственно с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков как образующие, с соотношением, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Получившаяся группа называется " K (X)", когда рассматриваются только локально свободные пучки, или "G (X)", когда все пучки когерентные. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика "K (X)" имеет когомологическое поведение и "G (X)" имеет гомологическое поведение.

Если " X " - гладкое многообразие, то эти две группы одинаковы. Если это гладкое аффинное многообразие, то все расширения локально свободных пучков расщепляются, таким образом, у группы есть альтернативное определение.

В топологии, применяя ту же конструкцию к векторным расслоениям, Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили "K(X)" для топологического пространства "X" в 1959 году и используя теорему о периодичности Ботта они сделали ее основой расширенной теории когомологий. Это сыграло важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи — Зингера об индексе (около 1962 года). Кроме того, этот подход привел к некоммутативной K-теории для C*-алгебр.

Уже в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал параллель между векторными расслоениями и проективными модулями для формулировки гипотезы Серра, которая утверждает, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов является свободным; это утверждение оказалось верным, но не было доказано лишь 20 лет спустя. (Теорема Серра — Свана является еще одним аспектом этой аналогии.)

Дальнейшее развитиеПравить

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Г. К. Уайтхеда и соавторов о том, что позже стало известно как кручение Уайтхеда.

Затем последовал период, в течение которого были даны различные частичные определения "высших функторов K-теории". Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Даниэлем Квилленом с использованием теории гомотопий в 1969 и 1972 гг. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения "алгебраической K-теории пространств", которая связана с изучением псевдоизотопий. Много современных исследований высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивных когомологий[en].

Соответствующие конструкции, задействующие вспомогательную квадратичную форму, получили название L-теории[en]. Это главный инструмент хирургии Морса.

В теории струн, классификация К-теории натяжений полей Рамонда — Рамонда и зарядов стабильных D-бран впервые была предложена в 1997 году[2].

ПримерыПравить

  • Самый простой пример группы Гротендика — это группа Гротендика точки   для поля  . Поскольку векторное расслоение над этим пространством является просто конечномерным векторным пространством, который является свободным объектом в категории когерентных пучков (следовательно, и проективным), моноид классов изоморфизма является  , в соответствии с размерностью векторного пространства. Соответствующая группа Гротендика равна  .
  • Одним из важных свойств группы Гротендика нётеровой схемы   является то, что  [3]. Следовательно, группа Гротендика любой артиновой  -алгебры равна  .
  • Еще одной важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения:[4] если   -- векторное расслоение ранга "r" над нётеровой схемой  , то группа Гротендика проективного расслоения   -- это свободный   -модуль ранга "r" с базисом  . Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика  .

ПриложенияПравить

Виртуальные расслоенияПравить

Одним из полезных применений группы Гротендика является определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств  , то есть короткая точная последовательность

 

где   -- конормальный пучок   в  . Если у нас есть особое пространство  , вложеноое в гладкое пространство  , мы определяем виртуальный конормальный пучок как

 

Другое полезное применение виртуальных расслоений связано с определением виртуального касательного расслоения для пересечения пространств: пусть   -- проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Тогда мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения   как

 

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ. [5]

Характеры ЧженяПравить

Классы Чженя могут быть использованы для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его кольца рациональных когомологий. Символ Чженя "ch" линейного расслоения "L" определяется формулой

 

В более общем случае, если   является прямой суммой линейных расслоений, с первыми классами Чженя   характер Чженя определяется аддитивно

 

Символ Чженя полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Чженя тензорного произведения. Символ Чженя используется в формулировки теоремы Хирцебруха — Римана — Роха.

Эквивариантная K-теорияПравить

Эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраической K-теорией, связанной с категорией   эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме   с действием линейной алгебраической группы  , через Q-конструкцию Квиллена; таким образом, по определению,

 

В частности,   - это Гротендиковская группа  . Эта теория была разработана Р. У. Томасоном в 1980-х годах.[6] В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. [[Michael Atiyah |Atiyah, Michael]] (2000), K-Theory Past and Present, arΧiv:math/0012213 
  2. Рубен Минасян (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7), и Грегори Муром в К-теория и заряд Рамонда — Рамонда
  3. Grothendieck group for projective space over the dual numbers. mathoverflow.net. Дата обращения: 16 апреля 2017.
  4. Манин, Юрий Иванович. Lectures on the K-functor in algebraic geometry (англ.) // Успехи математических наук : journal. — Российская академия наук, 1969. — 1 January (vol. 24, no. 5). — P. 1—89. — ISSN 0036-0279. — doi:10.1070/rm1969v024n05abeh001357. — Bibcode1969RuMaS..24....1M.
  5. [[Maxim Kontsevich |Kontsevich, Maxim]] (1995), Enumeration of rational curves via torus actions, The moduli space of curves (Texel Island, 1994), vol. 129, Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhauser Boston, с. 335–368 
  6. Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952–1995).

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

ИсточникиПравить