K-теория — математическая теория, изучающая кольца, порождённые векторными расслоениями над топологическими пространствами или схемами. В алгебраической топологии этот раздел теории когомологий называется топологической K-теорией. В области алгебры и алгебраической геометрии он называется алгебраической K-теорией. Также она играет важную роль в операторных алгебрах и её можно рассматривать как теорию определенных видов инвариантов больших матриц[1].

K-теория предполагает построение семейств K-функторов, отображающих топологические пространства или схемы на соответствующие кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и с функторами в категорию групп, используемой в алгебраической топологии, это функториального отображение даёт возможность легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных из подхода K-теории, включают теорему Гротендика — Римана — Роха, периодичность Ботта, теорему индекса Атии — Сингера и операции Адамса.

В физике высоких энергий K-теория и, в частности, K-теория c кручением используется в теории струн типа II, где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны, напряжённости поля Рамонда — Рамонда, а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях.

В физике конденсированного состояния K-теория была использована для классификации топологических изоляторов, сверхпроводников и устойчивых поверхностей Ферми.

Конструкция ГротендикаПравить

Конструкция Гротендика является необходимым компонентом для построения K-теории. Исходя из моноида   обозначим через   отношение   определённое как

 

если существует   такое что   Тогда множество   имеет структуру группы  , где:

 

Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные разности элементов в абелевом моноиде.

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелева моноида  . Здесь мы обозначим элемент идентичности через  . Во-первых,   для любого  , так как мы можем положить   и применить равенство из соотношения эквивалентности, чтобы получить  . Это означает

 

следовательно, у нас есть аддитивный обратный для каждого элемента в  . Это должно дать нам намек на то, что мы должны думать об эквивалентностях классов   как формальных разностях  . Другим полезным наблюдением является инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:

  for any  

Конструкцию Гротендика можно рассматривать как функтор  , и он имеет свойство, что оно остается сопряженным с соответствующим забывающим функтором   Это значит, что, учитывая морфизм   абелева моноида   к нижележащему абелеву моноиду абелевой группы  , существует уникальный абелев групповой морфизм  .

Наглядным примером для рассмотрения является конструкция Гротендика  . Мы можем видеть, что  . Для любой пары   мы можем найти минимальный представитель  , используя инвариантность при масштабировании. Например, из инвариантности масштабирования видно, что

 

Вообще, если мы положим  , то найдем, что

 , которое имеет форму   или  

Это показывает, что мы должны думать о   как о положительных целых числах и   как отрицательные целые числа.

ОпределенияПравить

Существует ряд основных определений K-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Учитывая компактное пространство Хаусдорфа   рассмотрим множество изоморфизмов классов конечномерных векторных расслоений над  , обозначенных   и пусть класс изоморфизма векторного расслоения   обозначается  . Так как классы изоморфизма векторных расслоений ведут себя хорошо по отношению к прямым суммам, мы можем написать эти операции над классами изоморфизма по

 

Должно быть ясно, что   является абелевым моноидом, где единица задается тривиальным векторным расслоением  . Тогда мы сможем применить конструкцию Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелева моноида. Это называется К-теория   и обозначается  .

Мы можем использовать теорему Серра — Лебедя и некоторую алгебру, чтобы получить альтернативное описание векторных расслоений над кольцом непрерывных комплекснозначных функций   как проективных модулей. Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц  . Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и образовать абелев моноид  . Его конструкция Гротендика также называется  .

В алгебраической геометрии та же конструкция может быть применена к алгебраическим векторным расслоениям над гладкими схемами. Но, есть альтернативная конструкция для любой Нетеровой схемы  . Если мы посмотрим на классы изоморфизма когерентных пучков   мы можем модулировать по отношению   если есть короткая точная последовательность

 

Это дает Гротендик-группу  , которая изоморфна  , если   гладко. Группа   является особенным, потому что существует также кольцевая структура: мы определяем ее как

 

Используя теорему Гротендика-Римана-Роха, мы имеем, что

 

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать   для теории пересечений.

Ранняя историяПравить

Можно сказать, что эта тема начинается с Александра Гротендика (1957), который использовал его для формулировки своей теоремы Гротендика-Римана-Роха. Он берет свое название от немецкого "Klasse", что означает "класс". Гротендику это было необходимо для работы с когерентными пучками на алгебраическом многообразии "X". Вместо того, чтобы работать непосредственно с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков как генераторы группы, подчиненные отношению, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Получившаяся группа называется " K (X)", когда только локально свободные пучки используются, или "G (X)", когда все являются когерентными пучками. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика "K (X)" имеет когомологическое поведение и "G (X)" имеет гомологическое поведение.

Если " X " - гладкое многообразие, то эти две группы одинаковы. Если это гладкое аффинное многообразие, то все расширения локально свободных пучков расщепляются, таким образом, у группы есть альтернативное определение.

В топологии, применяя ту же конструкцию к векторным расслоениям, Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определил "K(X)" для топологического пространства "X" в 1959 году и используя теорему о периодичности Ботта они сделали ее основой расширенной теории когомологий. Это сыграло важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи-Зингера об индексе (около 1962 года). Кроме того, этот подход привел к некоммутативной K-теории для C*-алгебр.

Уже в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал аналогию векторных расслоений с проективными модулями для формулировки гипотезы Серра, которая утверждает, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов является свободным; это утверждение оказалось верным, но не было доказано лишь 20 лет спустя. (Теорема Суона - еще один аспект этой аналогии.)

Дальнейшее развитиеПравить

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Д. Г. К. Уайтхеда и соавторов о том, что позже стало известно как кручение Уайтхеда.

Затем последовал период, в течение которого были даны различные частичные определения "высших функторов K-теории". Наконец, два полезных и эквивалентные определения были даны Даниэлем Квилленом с использованием гомотопической теории в 1969 и 1972 гг. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения "алгебраической K-теории пространств", которая связана с изучением псевдоизотопий. Много современных исследований высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивационных когомологий.

Получены соответствующие конструкции, включающие вспомогательную квадратичную форму под общим названием L-теория. Это главный инструмент хирургии Морса.

В теории струн, классификация К-теории натяжений полей Рамонда-Рамонда и зарядов стабильных D-бран впервые была предложена в 1997 году[2].

ПримерыПравить

  • Самый простой пример группы Гротендика - это группа Гротендика точки   для поля  . Поскольку векторное расслоение над этим пространством является просто конечномерным векторным пространством, который является свободным объектом в категории когерентных пучков, следовательно проективным, моноид классов изоморфизма является  , в соответствии с размерностью векторного пространства. Это простое упражнение, чтобы показать что группа Гротендика - это тогда  .
  • Одним из важных свойств группы Гротендика Нетеровой схемы   является то, что  [3]. Следовательно, группой Гротендика любой Артиновой   - алгебры является  .
  • Еще одной важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения:[4] учитывая векторное расслоение ранга r   над Нетеровой схемой  , группа Гротендика проективного расслоения   - это свободный   -модуль ранга "r" с базисом  . Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика  .

ПриложенияПравить

Виртуальные расслоенияПравить

Одним из полезных применений группы Гротендика является определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств  , то есть короткая точная последовательность

 

где   является конормальным пучком   в  . Если у нас есть сингулярное пространство  , встроенное в ровное пространство  , мы определяем виртуальный конормальный пучок как

 

Другое полезное применение виртуальных расслоений связано с определением виртуального касательного расслоения пересечения пространств: пусть   - проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Тогда мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения   как

 

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ. [5]

Класс ЧженяПравить

Классы Чженя могут быть использованы для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства на его рациональную когомологию. Для линейного расслоения "L" символ Чженя ch определяется формулой

 

В более общем случае, если   является прямой суммой линейных расслоений, с первыми классами Чженя   символ Чженя определяется аддитивно

 

Символ Чженя полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Чженя тензорного произведения. Символ Чженя используется в теореме Хирцебруха — Римана — Роха.

Эквивариантная K-теорияПравить

Эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраической K-теорией, связанной с категорией   эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме   с действием линейной алгебраической группы  , через Q-конструкцию Квиллена; таким образом, по определению,

 

В частности,   - это Гротендиковская группа  . Теория была разработана Р. У. Томасоном в 1980-х годах.[6] В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. [[Michael Atiyah |Atiyah, Michael]] (2000), K-Theory Past and Present, arΧiv:math/0012213 
  2. Рубен Минасян (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7), и Грегори Муром в К-теория и заряд Рамонда-Рамонда
  3. Grothendieck group for projective space over the dual numbers. mathoverflow.net. Дата обращения 16 апреля 2017.
  4. [[:en:Yuri Manin|Manin, Yuri I]] (англ.). Lectures on the K-functor in algebraic geometry (англ.) // Успехи математических наук : journal. — Российская академия наук, 1969. — 1 January (vol. 24, no. 5). — P. 1—89. — ISSN 0036-0279. — doi:10.1070/rm1969v024n05abeh001357. — Bibcode1969RuMaS..24....1M.
  5. [[Maxim Kontsevich |Kontsevich, Maxim]] (1995), Enumeration of rational curves via torus actions, The moduli space of curves (Texel Island, 1994), vol. 129, Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhauser Boston, с. 335–368 
  6. Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952–1995).

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

ИсточникиПравить