Открыть главное меню
Взаимотношение между классами P, NP, NP-complete (NP-полными задачами), NP-hard (NP-трудными задачами) в случае, если P≠NP и если P=NP

NP-полная задача — в теории алгоритмов задача с ответом «да» или «нет» из класса NP, к которой можно свести любую другую задачу из этого класса за полиномиальное время (то есть при помощи операций, число которых не превышает некоторого полинома в зависимости от размера исходных данных). Таким образом, NP-полные задачи образуют в некотором смысле подмножество «типовых» задач в классе NP: если для какой-то из них найден «полиномиально быстрый» алгоритм решения, то и любая другая задача из класса NP может быть решена так же «быстро».

Содержание

Формальное определениеПравить

Алфавитом называется всякое конечное множество символов (например, { } или { }). Множество всех возможных слов (конечных строк, составленных из символов этого алфавита) над некоторым алфавитом   обозначается  . Языком   над алфавитом   называется всякое подмножество множества  , то есть  .

Задачей распознавания для языка   называется определение того, принадлежит ли данное слово языку  .

Пусть   и   — два языка над алфавитом  . Язык   называется сводимым (по Карпу) к языку  , если существует функция,  , вычислимая за полиномиальное время, обладающая следующим свойством:

  •   тогда и только тогда, когда  . Сводимость по Карпу обозначается как   или  .

Язык   называется NP-трудным, если любой язык из класса NP сводится к нему. Язык называют NP-полным, если он NP-труден, и при этом сам лежит в классе NP.

Неформально говоря, то что задача   сводится к задаче  , означает, что задача   «не сложнее» задачи   (так как, если мы можем решить  , то можем решить и  ). Таким образом, класс NP-трудных задач включает NP-полные задачи и задачи, которые «сложнее» их (то есть те задачи, к которым могут быть сведены NP-полные задачи). Класс NP включает NP-полные задачи и задачи, которые «легче» их (то есть те задачи, которые сводятся к NP-полным задачам).

Из определения следует, что, если будет найден алгоритм, решающий некоторую (любую) NP-полную задачу за полиномиальное время, то все NP-задачи окажутся в классе P, то есть будут решаться за полиномиальное время.

NP-полнота в сильном смыслеПравить

Задача называется NP-полной в сильном смысле, если у неё существует подзадача, которая:

  1. не является задачей с числовыми параметрами (то есть максимальное значение величин, встречающихся в этой задаче, ограничено сверху полиномом от длины входа),
  2. принадлежит классу NP,
  3. является NP-полной.

Класс таких задач называется NPCS. Если гипотеза P ≠ NP верна, то для NPCS-задачи не существует псевдополиномиального алгоритма[источник не указан 769 дней].

Гипотеза P ≠ NPПравить

Вопрос о совпадении классов P и NP уже более 30 лет является открытой проблемой. Научное сообщество склоняется к отрицательному ответу на этот вопрос[1] — в этом случае решать NP-полные задачи за полиномиальное время не удастся.

Примеры NP-полных задачПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. William I. Gasarch. The P=?NP poll. (неопр.) // SIGACT News. — 2002. — Т. 33, № 2. — С. 34—47. — DOI:10.1145/1052796.1052804.
  2. Erik D. Demaine, Susan Hohenberger, David Liben-Nowell. Tetris is Hard, Even to Approximate (англ.). preprint.

ЛитератураПравить

  • Томас Х. Кормен и др. Глава 34. NP-полнота // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — 1296 с. — ISBN 0-07-013151-1.
  • Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002. — 528 с. — ISBN 0-201-44124-1.

СсылкиПравить