Открыть главное меню

p-адическое число

p-адическое число[1] — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.

p-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году[2].

Поле p-адических чисел обычно обозначается или .

Содержание

Алгебраическое построениеПравить

Целые p-адические числаПравить

Стандартное определениеПравить

Целым p-адическим числом для заданного простого p называется[3] бесконечная последовательность   вычетов   по модулю  , удовлетворяющих условию:

 

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается  .

Определение через проективный пределПравить

В терминах проективных пределов кольцо целых  -адических чисел определяется как предел

 

колец   вычетов по модулю   относительно естественных проекций  .

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа   или его степени, но и любого составного числа   — получится т. н. кольцо  -адических чисел, но это кольцо в отличие от   обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

СвойстваПравить

Обычные целые числа вкладываются в   очевидным образом:   и являются подкольцом.

 
Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Беря в качестве элемента класса вычетов число   (таким образом,  ), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде   однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое   в p-ичной системе счисления   и, учитывая, что  , возможно всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде   или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления  . Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

Есть и такое свойство: если основание системы счисления N — простое число, большее 2, то для любого числа x, не кончающегося на 0, существует квадратный корень √ x , при условии, что существует число y0, которое при возведении в квадрат по модулю N даёт число, равное последней цифре. Из этого вытекает следующий способ определения p-адических чисел:

  1. Натуральные числа и ноль совпадают по записи с числами, записанными в p-ричной системе счисления.
  2. Для того чтобы записать отрицательные и рациональные числа, необходимо сначала записать число -1/n, где n - любое взаимно простое с p число. Это делается следующим образом:

1. Найти первую степень числа p, которая при вычитании 1 делится на n. При p простом или степени простого это всегда возможно по малой теореме Ферма. Например, 3 - 1 делится на 2, а на 4 нет, тогда берётся вторая степень и т.д.

2. Разделить (вышеупомянутая степень p - 1) на n и записать в системе с основанием p.

3. Повторить бесконечное число раз полученное число. Так -1/2 в 3-адической системе запишется как ...11111, а в 5-адической - как ...22222.

  1. Умножить на знаменатель, чтобы получить -1, и далее столбиком умножать или делить до получения необходимого числа или дроби.

p-адические числаПравить

Определение как поля частныхПравить

p-адическим числом называется элемент поля частных   кольца   целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

СвойстваПравить

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

 
Пример выполнения деления 5-адических чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число, не кратное p, обратимо в кольце  , а кратное p однозначно записывается в виде  , где x не кратно p и поэтому обратимо, а  . Поэтому любой ненулевой элемент поля   может быть записан в виде  , где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности  , то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построениеПравить

Любое рациональное число   можно представить как   где   и   целые числа, не делящиеся на  , а   — целое. Тогда   —  -адическая норма   — определяется как  . Если  , то  .

Поле  -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой  , определённой  -адической нормой:  . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма   продолжается по непрерывности до нормы на  .

СвойстваПравить

  • Каждый элемент x поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда
 
где   — некоторое целое число, а   — целые неотрицательные числа, не превосходящие  . А именно, в качестве   здесь выступают цифры из записи x в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике   к самому  .
 
  • Числа   с условием   образуют кольцо   целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел   в норме  .
  • Числа   с условием   образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
  • Совокупность чисел   с условием   является главным идеалом в   с образующим элементом p.
  • Метрическое пространство   гомеоморфно канторову множеству, а пространство   гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
  • Для различных p нормы   независимы, а поля   неизоморфны.
  • Для любых элементов  ,  ,  ,  ,  , … таких, что   и  , можно найти последовательность рациональных чисел   таких, что для любого p выполнено   и  .

ПримененияПравить

  • Если   — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения
 
эквивалентна разрешимости уравнения
 
в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.
На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля (англ.), при   достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при   для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при  .
  • p-адические числа находят широкое применение в теоретической физике[4]. Известны p-адические обобщённые функции[5], p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова)[6], p-адическая квантовая механика[7][8], p-адическая спектральная теория[9], p-адическая теория струн[10][11]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т. п.
  2. Kurt Hensel. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6, № 3. — С. 83—88. (нем.)
  3. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, 1985, с. 25—28..
  4. Vladimiriv V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993
  5. Владимиров В. С. «Обобщённые функции над полем p-адических чисел» // УМН, 1988, т. 43 (5), с. 17-53
  6. Владимиров В. С. О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770—789
  7. Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659—676
  8. Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43-53
  9. Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275—302, (1990)
  10. Volovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83-L84
  11. Frampton P. H. Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — isbn 5-02-007023-8 — С. 287—291.

ЛитератураПравить

  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
  • Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
  • Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
  • Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю. 2-адические числа // Квант. — 1979. — № 2. — С. 26—31.
  • Конрад К. Введение в p-адические числа Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна