t-Критерий Стьюдента

(перенаправлено с «T-критерий Стьюдента»)

t-критерий Стьюдента — общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

t-статистика строится обычно по следующему общему принципу: в числителе случайная величина с нулевым математическим ожиданием (при выполнении нулевой гипотезы), а в знаменателе — выборочное стандартное отклонение этой случайной величины, получаемое как квадратный корень из несмещённой оценки дисперсии.

ИсторияПравить

Данный критерий был разработан Уильямом Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

Требования к даннымПравить

Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. В случае применения двухвыборочного критерия для независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства дисперсий. Существуют, однако, альтернативы критерию Стьюдента для ситуации с неравными дисперсиями.

Требование нормальности распределения данных является необходимым для точного  -теста. Однако, даже при других распределениях данных возможно использование  -статистики. Во многих случаях эта статистика асимптотически имеет стандартное нормальное распределение —  , поэтому можно использовать квантили этого распределения. Однако, часто даже в этом случае используют квантили не стандартного нормального распределения, а соответствующего распределения Стьюдента, как в точном  -тесте. Асимптотически они эквивалентны, однако на малых выборках доверительные интервалы распределения Стьюдента шире и надежнее.

При несоблюдении этих условий при сравнении выборочных средних должны использоваться аналогичные методы непараметрической статистики, среди которых наиболее известными являются U-критерий Манна — Уитни (в качестве двухвыборочного критерия для независимых выборок), а также критерий знаков и критерий Уилкоксона (используются в случаях зависимых выборок).

Одновыборочный t-критерийПравить

Применяется для проверки нулевой гипотезы   о равенстве математического ожидания   некоторому известному значению  .

Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы  . С учётом предполагаемой независимости наблюдений  . Используя несмещенную оценку дисперсии   получаем следующую t-статистику:

 

При нулевой гипотезе распределение этой статистики  . Следовательно, при превышении значения статистики по абсолютной величине критического значения данного распределения (при заданном уровне значимости) нулевая гипотеза отвергается.

Двухвыборочный t-критерий для независимых выборокПравить

Пусть имеются две независимые выборки объемами   нормально распределенных случайных величин  . Необходимо проверить по выборочным данным нулевую гипотезу равенства математических ожиданий этих случайных величин  .

Рассмотрим разность выборочных средних  . Очевидно, если нулевая гипотеза выполнена  . Дисперсия этой разности равна исходя из независимости выборок:  . Тогда используя несмещенную оценку дисперсии   получаем несмещенную оценку дисперсии разности выборочных средних:  . Следовательно, t-статистика для проверки нулевой гипотезы равна

 

Эта статистика при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение  , где  

Случай одинаковой дисперсииПравить

В случае, если дисперсии выборок предполагаются одинаковыми, то

 

Тогда t-статистика равна:

 

Эта статистика имеет распределение  

Двухвыборочный t-критерий для зависимых выборокПравить

Для вычисления эмпирического значения  -критерия в ситуации проверки гипотезы о различиях между двумя зависимыми выборками (например, двумя пробами одного и того же теста с временным интервалом) применяется следующая формула:

 

где   — средняя разность значений,   — стандартное отклонение разностей, а n — количество наблюдений

Эта статистика имеет распределение  .

Проверка линейного ограничения на параметры линейной регрессииПравить

С помощью t-теста можно также проверить произвольное (одно) линейное ограничение на параметры линейной регрессии, оцененной обычным методом наименьших квадратов. Пусть необходимо проверить гипотезу  . Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы  . Здесь использовано свойство несмещенности МНК-оценок параметров модели  . Кроме того,  . Используя вместо неизвестной дисперсии её несмещенную оценку   получаем следующую t-статистику:

 

Эта статистика при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение  , поэтому если значение статистики выше критического, то нулевая гипотеза о линейном ограничении отклоняется.

Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессииПравить

Частным случаем линейного ограничения является проверка гипотезы о равенстве коэффициента   регрессии некоторому значению  . В этом случае соответствующая t-статистика равна:

 

где   — стандартная ошибка оценки коэффициента — квадратный корень из соответствующего диагонального элемента ковариационной матрицы оценок коэффициентов.

При справедливости нулевой гипотезы распределение этой статистики —  . Если значение статистики по абсолютной величине выше критического значения, то отличие коэффициента от   является статистически значимым (неслучайным), в противном случае — незначимым (случайным, то есть истинный коэффициент вероятно равен или очень близок к предполагаемому значению  )

ЗамечаниеПравить

Одновыборочный тест для математических ожиданий можно свести к проверке линейного ограничения на параметры линейной регрессии. В одновыборочном тесте это «регрессия» на константу. Поэтому   регрессии и есть выборочная оценка дисперсии изучаемой случайной величины, матрица   равна  , а оценка «коэффициента» модели равна выборочному среднему. Отсюда и получаем выражение для t-статистики, приведенное выше для общего случая.

Аналогично можно показать, что двухвыборочный тест при равенстве дисперсий выборок также сводится к проверке линейных ограничений. В двухвыборочном тесте это «регрессия» на константу и фиктивную переменную, идентифицирующую подвыборку в зависимости от значения (0 или 1):  . Гипотеза о равенстве математических ожиданий выборок может быть сформулирована как гипотеза о равенстве коэффициента b этой модели нулю. Можно показать, что соответствующая t-статистика для проверки этой гипотезы равна t-статистике, приведенной для двухвыборочного теста.

Также к проверке линейного ограничения можно свести и в случае разных дисперсий. В этом случае дисперсия ошибок модели принимает два значения. Исходя из этого можно также получить t-статистику, аналогичную приведенной для двухвыборочного теста.

Непараметрические аналогиПравить

Аналогом двухвыборочного критерия для независимых выборок является U-критерий Манна — Уитни. Для ситуации с зависимыми выборками аналогами являются критерий знаков и T-критерий Вилкоксона

ЛитератураПравить

Student. The probable error of a mean. // Biometrika. 1908. № 6 (1). P. 1-25.

СсылкиПравить

О критериях проверки гипотез об однородности средних на сайте Новосибирского государственного технического университета