U(1)
(унитарная группа порядка 1) — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: . Является одномерной группой Ли, изоморфна группе вращений плоскости и диффеоморфна окружности.
Названия и обозначения
правитьГруппа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера . Данная группа естественным образом изоморфна группе вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как или в связи с тем, что квадрат этой группы представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп , не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.
упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе: ) или просто «окружность» ( или ).
Некоторые свойства
правитьГруппа компактна и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную .
Группа не является односвязной.
Элементарное толкование
правитьЭлементы группы фактически определяют величину угла: комплексное число группы можно записать как (причём будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов всей плоскости вокруг начала координат.
Углы, различающиеся на целое число оборотов ( , если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на и будет равна нулю. Таким образом, группа изоморфна факторгруппе группы вещественных чисел по модулю . Если измерять угол в оборотах ( ), то — группа дробных частей вещественных чисел.
Применение
правитьГруппа является важнейшим объектом в теории двойственности Понтрягина; через неё определяется преобразование Фурье. Часто используется в любом контексте, вовлекающем комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение на число, по модулю равное единице» и т. д.).
В физике калибровочная -теория — электродинамика (с уравнениями Максвелла в качестве классических уравнений движения). В квантовой механике — «физически неразличимые» преобразования вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность.
На свойствах основан метод тригонометрических сумм.