U(1)

(унитарная группа порядка 1) в математике — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: . Является также одномерной группой Ли и представляет собой окружность. Изоморфна группе вращений двумерного вещественного пространства.

Названия и обозначенияПравить

Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера  . Данная группа естественным образом изоморфна группе   вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как   или   в связи с тем, что квадрат этой группы   представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп  , не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.

  упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе:  ) или просто «окружность» (  или  ).

Некоторые свойстваПравить

Группа   компактна и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную  .

Группа   не является односвязной.

Элементарное толкованиеПравить

 
Сложение углов:
150° + 270° = 60°

Элементы группы   определяют, фактически, величину угла: комплексное число   группы можно записать как   (причём   будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу   можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов   всей плоскости вокруг начала координат.

Углы, различающиеся на целое число оборотов ( , если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на   и   будет равна нулю. Таким образом, группа   изоморфна факторгруппе   группы вещественных чисел по модулю  . Если измерять угол в оборотах ( ), то   — группа дробных частей вещественных чисел.

ПрименениеПравить

Группа   является важнейшим объектом в теории двойственности Понтрягина; через неё определяется преобразование Фурье. Часто используется в любом контексте, вовлекающем комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение на число, по модулю равное единице» и т. д.).

В физике калибровочная  -теория — электродинамикауравнениями Максвелла в качестве классических уравнений движения). В квантовой механике   — «физически неразличимые» преобразования вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность.

На свойствах   основан метод тригонометрических сумм.

См. такжеПравить