Zitterbewegung

Zitterbewegung (нем. Zitterbewegung — «дрожащее движение») — быстрое осциллирующее движение элементарной частицы, подчиняющейся уравнению Дирака (в частности, электрона). Существование такого движения было впервые отмечено Шрёдингером в 1930 году, который проанализировал решение уравнения Дирака для релятивистского свободного электрона, имеющее вид волнового пакета, в котором интерференция между состояниями c положительной и отрицательной энергиями приводит к колебаниям (на скорости света) электрона вокруг его среднего положения с круговой частотой $2mc^{2}/\hbar$, или приблизительно 1,6⋅10²¹ Гц.

Вывод выражения, описывающего Zitterbewegung

Движение свободного релятивистского электрона можно описать уравнением Шрёдингера

$H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)$

где

$H=\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c$

— гамильтониан Дирака.

Тогда для описания зависимости любого оператора Q от времени справедливо:

$-i\hbar {\frac {\partial Q(t)}{\partial t}}=\left[H,Q\right]\,\!\;.$

В частности, для производной по времени от оператора координаты $x_{k}(t)$

$\hbar {\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,x_{k}\right]=\alpha _{k}\,\!\;.$

Полученное уравнение показывает, что оператор $\alpha _{k}$ можно интерпретировать как k-ю компоненту оператора скорости.

Зависимость этого оператора от времени описывается, в свою очередь, выражением

$\hbar {\frac {\partial \alpha _{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2ip_{k}-2i\alpha _{k}H\,\!\;.$

Поскольку $p_{k}$, и $H$ не зависят от времени, вышеприведённое уравнение можно дважды проинтегрировать по $t$, получив следующую зависимость оператора координаты от времени:

$x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{1 \over 2}i\hbar cH^{-1}(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-2iHt/\hbar }-1).$

В получившееся выражение входит начальное положение, пропорциональное времени движение и дополнительный член, соответствующий осцилляциям с амплитудой, равной комптоновской длине волны. Это осциллирующее слагаемое — так называемый «Zitterbewegung».

Заметим, что это слагаемое исчезает, если допустить, что волновой пакет состоит из волн только с положительной энергией. Таким образом, «Zitterbewegung» можно интерпретировать как результат интерференции между компонентами волны с положительной и отрицательной энергиями.

Есть и точка зрения, что уравнение Дирака в этом случае нельзя, подобно уравнению Шредингера, рассматривать как обычное квантовомеханическое описание одной частицы. Движение заряда со скоростью света описывается уравнением Дирака как очень сложное возбужденное состояние с фазовыми взаимосвязями между частицами и античастицами.

Опытное подтверждение

В 2009 году учёные экспериментально наблюдали явление Zitterbewegung, подтвердив предсказание Шрёдингера.

Ссылки

• E. Schrödinger, Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik («On the free movement in relativistic quantum mechanics»), Berliner Ber., pp. 418—428 (1930); Zur Quantendynamik des Elektrons, Berliner Ber, pp. 63-72 (1931)

• A. Messiah, Quantum Mechanics Volume II, Chapter XX, Section 37, pp. 950—952 (1962)

• Observing Zitterbewegung in Ultracold Atoms