Теорема Пуанкаре о возвращении

Теорема Пуанкаре о возвращении — одна из базовых теорем эргодической теории. Её суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернётся в свою начальную окрестность.

Формулировка

Полная формулировка теоремы следующая:

Пусть $T$ — сохраняющее меру преобразование пространства с конечной мерой $(X,\mu )$ и пусть $A\subset X$ — измеримое множество. Тогда для некоторого натурального $N$ $\mu (\{x\in A\colon \{T^{n}(x)\}_{n\geqslant N}\subset (X\setminus A)\})=0$.

Следствия

У данной теоремы есть следствие: если в сосуде, разделённом перегородкой на два отсека, один из которых заполнен идеальным газом, а другой пуст, удалить перегородку, то через некоторое время все молекулы газа вновь соберутся в исходной части сосуда. Разгадка этого парадокса в том, что «некоторое время» очень велико. Применительно неидеального газа это не работает, поскольку такая система будет стремиться к экстремуму энтропии.

Литература

• Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / Перевод с английского А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Изд. 5-е стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — С. 62. — ISBN 5-354-00341-5