Аксиома счётного выбора

Аксиома счётного выбора — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая $\mathbf {AC} _{\omega }.$ Аксиома утверждает, что для любого счётного семейства непустых множеств существует «функция выбора», извлекающая из каждого множества один и только один его элемент. Другими словами, для последовательности непустых множеств $S_{1},S_{2},S_{3}\dots$ можно построить последовательность их представителей $x_{1},x_{2},x_{3}\dots$ при этом множества $S_{i}$ могут быть бесконечными и даже несчётными.

Пусть каждое из множеств $S_{1},S_{2},S_{3}\dots$ непусто. Аксиома счётного выбора утверждает, что можно взять по одному элементу $x_{i}$ из каждого множества $S_{i}$ и выстроить их в последовательность $x_{1},x_{2},x_{3}\dots$

Место аксиомы в математике

Аксиома счётного выбора $\mathbf {AC} _{\omega }$ представляет собой ограниченный вариант полной аксиомы выбора ($\mathbf {AC}$), в отличие от последней она утверждает существование функции выбора только для счётного семейства множеств. Как доказал Пол Коэн, аксиома счётного выбора независима от других аксиом теории множеств (без аксиомы выбора). В отличие от полной аксиомы выбора, аксиома счётного выбора не приводит к парадоксу удвоения шара или иным противоречащим интуиции следствиям.

Аксиома счётного выбора достаточна для обоснования основных теорем анализа. Из неё следует, в частности:

• для любой предельной точки существует сходящаяся к ней последовательность;
• мера Лебега счётно-аддитивна;
• всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Однако значительная часть утверждений теории множеств не может быть доказана с помощью аксиомы счётного выбора. Например, чтобы доказать, что каждое множество может быть вполне упорядочено, требуется полная аксиома выбора.

Существует несколько усиленный вариант $\mathbf {AC} _{\omega },$ называемый «аксиома зависимого выбора» ($\mathbf {DC}$). Аксиома счётного выбора вытекает из неё, а также из аксиомы детерминированности ($\mathbf {AD}$).

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с. — Глава 3, § 4.
• Кановей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. — М.: Наука, 1984. — 64 с. — (Проблемы науки и технического прогресса).
• Медведев Ф. А. Ранняя история аксиомы выбора. — М.: Наука, 1982. — 304 с. Архивная копия от 28 октября 2015 на Wayback Machine
• Медведев Ф. А. Аксиома выбора и математический анализ // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 167-188.
• Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств = Handbook of Mathematical Logic / Барвайс Дж.. — М.: Наука, 1983. — 392 с.
• Herrlich, Horst. Choice principles in elementary topology and analysis (англ.) // Comment.Math.Univ.Carolinae. — 1997. — Vol. 38, no. 3. — P. 545.
• Potter, Michael. Set Theory and its Philosophy: A Critical Introduction. — Oxford University Press, 2004. — ISBN 9780191556432.  (англ.)