Алгебраическая функция

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ называется алгебраической в точке $A=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$, если существует окрестность точки $A$, в которой верно тождество

$P(F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0.$

где $P$ есть многочлен от $n+1$ переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного $F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ является алгебраической на интервале $(-1,1)$ в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

$F^{2}+x^{2}=1.$

Существует аналитическое продолжение функции $F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком $[-1,1]$ или с двумя вырезанными лучами $(-\infty ,-1]$ и $[1,\infty )$. В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Частные случаи

Частными случаями алгебраических функций являются:

• степенная функция;
• рациональная функция;

Алгебраические и трансцендентные числа

Основные статьи: Алгебраическое число и Трансцендентное число

Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, ${\sqrt {2}}$ — алгебраическое иррациональное число, а $\pi$ — трансцендентное иррациональное число.

См. также

• Аналитическая функция
• Трансцендентная функция

Литература

• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.—Л.: ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.