Алгебраическое уравнение Риккати

Не следует путать с дифференциальным уравнением Риккати.

Алгебраическое уравнение Риккати — нелинейное матричное уравнение, использующееся при решении некоторых задач теории управления, в частности при построении линейно-квадратичного регулятора и фильтра Кальмана.

Два классических типа алгебраических уравнений Риккати:

• Непрерывное уравнение:

$XDX+XA+A^{*}X-C=0,$

где $X$ — искомая матрица, $A,D,C$ — известные квадратные комплексные матрицы, $D$ и $C$ — эрмитовы.

• Дискретное уравнение:

$X=A^{*}XA+Q-\left(C+B^{*}XA\right)^{*}\left(R+B^{*}XB\right)^{-1}\left(C+B^{*}XA\right),$

где $X$ — искомая матрица, $A,B,C,Q,R$ — известные комплексные матрицы, $B$ и $C$ могут быть прямоугольными, $Q$ и $R$ — эрмитовы.

Названия обоих типов обусловлены их применением при исследовании соответственно непрерывных и дискретных динамических систем.

Для решения алгебраического уравнения Риккати применяются итерационные методы, например, метод Ньютона, а также различные матричные разложения, особенно спектральное разложение.