Тривиальная топология

Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.

Определение

Пусть $X$ — произвольное множество. Семейство подмножеств ${\mathcal {T}}=\{X,\varnothing \},$ где $\varnothing$ обозначает пустое множество, является топологией. Эта топология называется тривиальной, антидискретной или топологией сли́пшихся точек. Пара $(X,{\mathcal {T}})$ называется тривиа́льным (иначе: антидискретным) топологи́ческим простра́нством.

Замечание

Если множество $X$ содержит более одной точки, то все они топологически неразличимы, так как содержатся в одной единственной окрестности.

Свойства

• Единственными замкнутыми множествами в антидискретном топологическом пространстве являются $X$ и $\varnothing .$
• Антидискретная топология обладает единственной базой: ${\mathcal {B}}=\{X\}.$
• Антидискретное топологическое пространство не удовлетворяет большинству аксиом отделимости. В частности, оно не является хаусдорфовым, а следовательно и метризуемым. Однако антидискретное топологическое пространство удовлетворяет аксиомам Т₃, T_3½, Т₄ ввиду отсутствия в нём тех объектов, для которых надо проверять условия аксиом. Именно поэтому в определения регулярного, вполне регулярного и нормального топологических пространств вводится требование удовлетворять ещё одной аксиоме отделимости: аксиоме Т₁.
• Антидискретное топологическое пространство компактно и паракомпактно.
• Любая последовательность точек из $X$ сходится к любой точке из того же пространства. В частности антидискретное топологическое пространство секвенциально компактно.
• Внутренность произвольного собственного подмножества $A\subsetneq X$ пуста.
• Замыкание произвольного непустого подмножества $A\subset X$ совпадает с $X$. В частности, любое подмножество антидискретного топологического пространства всюду плотно в $X.$
• Два антидискретных топологических пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность.

См. также

• Дискретная топология.