Аньезиана

Обзорная статья: Окружность

Не следует путать с грушевидной квартикой — антигиперболизмом окружности.

Аньезиа́на (англ. agnesiana — кривая Аньези) (частный случай — верзие́ра) — гиперболизм окружности с полюсом на этой окружности и произвольной прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсе.

Пять форм аньезианы $y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2}.$ Из них оранжевая - верзиера, красная — псевдоверзиера

В декартовых координатах аньезиана — это гиперболизм окружности

$x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$

с радиусом $a$ и полюсом в начале координат на окружности и прямой $y=b$, имеющий следующее уравнение:

$\left(x{\frac {y}{b}}\right)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2},$

или

$y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2};$

или

$y={\frac {2ab^{2}}{b^{2}+x^{2}}}.$

Полагают, что $a>0$: при $a=0$ аньезиана вырождается в ось абсцисс.

Относится к плоским алгебраически кривым 3-го порядка.

Аньезиана — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами:

• неограниченная;
• имеет одну асимптоту.
• связная;
• имеет бесконечно удалённую изолированную точку в направлении оси ординат;
• особых точек нет;
• имеет одну ось симметрии.

Образующая окружность есть антигиперболизм аньезианы.

Своё название аньезиана получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей частный случай этой кривой — верзиеру — в 1748 году. Ранее верзиеру изучали Пьер Ферма в 1630 году и Гвидо Гранди в 1703 году.

Определения аньезианы

Определение и уравнение

Аньезиа́на (англ. agnesiana — кривая Аньези) — гиперболизм окружности, ограниченный тем, что его полюс расположен на этой окружности, и произвольной прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсе. Эта окружность называется образующей, или производящей. Точка образующей окружности, диаметрально противоположная полюсу, называется вершиной аньезианы.

В декартовых координатах аньезиана — это гиперболизм окружности

$x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$

с радиусом $a$ ограниченный тем, что его полюс расположен на окружности, куда удобно поместить также и начало координат, и произвольной прямой $y=b$. Такой гиперболизм окружности записывается уравнением, полученным из уравнения окружности:

$\left(x{\frac {y}{b}}\right)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2},$

или

$y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2};$

или

$y={\frac {2ab^{2}}{b^{2}+x^{2}}}.$

Полагают, что $a>0$, поскольку при $a=0$ аньезиана вырождается в прямую $y=0$ — ось абсцисс.

Относится к плоским алгебраически кривым 3-го порядка.

Аньезиана — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами:

• неограниченная;
• имеет одну асимптоту.
• связная;
• имеет бесконечно удалённую изолированную точку в направлении оси ординат;
• особых точек нет;
• имеет одну ось симметрии.

Приведённое выше уравнение аньезианы в декартовой системе координат

$y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2};$

(с площадью $S=2\pi ab$ области, ограниченной кривой и асимптотой $y=0$) может быть записано по-другому:

• в сокращённой форме:

$y(b^{2}+x^{2})=db^{2};$

где $d=2a$ — диаметр базовой окружности гиперболизма (и площадью $S=\pi db$);

• с изменённым параметром $2a={\frac {r^{2}}{b}}$ (и площадью $S=\pi r^{2}$):

$y(b^{2}+x^{2})=br^{2}.$

Все уравнения, рассмотренные выше, имеют вертикальную ось симметрии (совпадающую с оью ординат) и асимптоту $y=0$, расположенную снизу от кривой. Но асимптоту можно расположить на графике и сверху, записав уравнение аньезианы в следующей форме:

$y(b^{2}+x^{2})=-2ab^{2}.$

У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью ординат. У следующих уравнений ось симметрии аньезианы совпадает с осью абсцисс:

• асимптота $x=0$ расположена слева от кривой:

$x(b^{2}+y^{2})=2ab^{2};$

• асимптота $x=0$ расположена справа от кривой:

$x(b^{2}+y^{2})=-2ab^{2}.$

Частные случаи

Обзорная статья: Верзиера

Верзиера — частный случай аньезианы при $b=2a$ со следующим уравнением:

$y(4a^{2}+x^{2})=8a^{3}\,\,(y(d^{2}+x^{2})=d^{3},\,d=2a).$

Псевдоверзиера — частный случай аньезианы при $b=a$ со следующим уравнением:

$y(a^{2}+x^{2})=2a^{3}\,\,(y(d^{2}+4x^{2})=d^{3},\,d=2a).$

Поскольку уравнение верзиеры можно записать в виде

$y(d^{2}+x^{2})=d^{3},$

а уравнение псевдоверзиеры в виде

$y(a^{2}+x^{2})=2a^{3},$

то псевдоверзиера получается удвоением ординат верзиеры, если $d=a,\,$ другими словами, если диаметр образующей окружности верзиеры равен радиусу образующей окружности псевдоверзиеры.

Вывод уравнения и геометрическое построение

Получить аньезиану $F(X,Y)$ путём гиперболизма $X={\frac {bx}{y}},$ $Y=y$ базовой окружности $x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ радиуса $a$ с началом координат на этой окружности и базовой прямой $x=b$, перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координат можно двумя способами:

• исходя из уравнения образующей окружности:

$x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2},$

$\left({\frac {Xy}{b}}\right)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2},$

$Y(X^{2}+b^{2})=2ab^{2};$

• исходя из преобразования гиперболизма:

$X={\frac {bx}{y}},$

$X^{2}={\frac {b^{2}}{y^{2}}}x^{2},$

$y^{2}X^{2}=b^{2}(a^{2}-(y-a)^{2}),$

$Y(X^{2}+b^{2})=2ab^{2}.$

Получаем, что преобразование гиперболизма окружности:

• сохраняет ординату $y;$
• изменяет абсциссу $x$ пропорционально абсциссе и обратно пропорционально ординате с постоянным коэффициентом $b.$

Геометрическое построение красной точки аньезианы

Выясним роль образующих окружности и прямой, построив аньезиану геометрически (см. рисунок справа):

• выберем внутри диаметра образующей окружности произвольную точку с ординатой $y''$, которая будет также и ординатой аньезианы;
• проведём прямую $y=y''$, которая пересечётся с образующей окружностью в точке $P''=(x'',\,y''),\,$ на которой будет расположена точка аньезианы;
• проведём образующую прямую $y=b$;
• проведём прямую $OP''$ через начало координат, которая пересечётся с образующей прямой $y=b$ в точке $P'=(x',\,y')$;
• проведём прямую $x=x'$через точку $P'$, которая пересечётся с прямой $y=y''$ в точке $P$ — точке аньезианы.

Так как полюс $O$ находится на окружности, то иногда при построении аньезианы вместо окружности используют её точку $D$, диаметрально противоположную полюсу. При этом точка $P''$ есть основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на произвольную прямую, проходящую через полюс (см. рисунок справа).

Получим уравнение аньезианы в декартовых координатах, исходя из её геометрического построения:

• пусть уравнение прямой $(O,\,P'')$ есть

$y=mx$,

где $m$ — некоторый угловой коэффициент;

• тогда декартовы координаты точки $P''$, лежащей на окружности, будут

$P''={\frac {2am}{1+m^{2}}}(1,\,m),$

а точки $P'$ —

$P'=b\left({\frac {1}{m}},\,1\right);$

• наконец, координаты точки $P$ получаются

$P=\left({\frac {b}{m}},\,{\frac {2am^{2}}{1+m^{2}}}\right),$

откуда уравнение аньезианы есть

$y(x^{2}+b^{2})=2ab^{2}.$

Другой способ получения уравнения аньезианы в декартовых координатах, исходя из её геометрического построения:

• имеет место пропорция

${\frac {y''}{y''P''}}={\frac {b}{x''}},$

• имеет место соотношение

$y''P''={\sqrt {y''(2a-y'')}},$

• тогда

${\frac {y''}{\sqrt {y''(2a-y'')}}}={\frac {b}{x''}},$

то есть

$y(x^{2}+b^{2})=2ab^{2}.$

Из подобных треугольников 0yP и 0bP' этого геометрического построения также можно получить уравнения преобразования гиперболизма, которое зависит только от образующей прямой $x=b$ и не зависит от образующей кривой:

${\frac {X}{x''}}={\frac {b}{y''}},$ $Y=y'',$

$X={\frac {bx}{y}},$ $Y=y.$

Образующая окружность есть антигиперболизм аньезианы.

Уравнение в других координатных системах

Для перевода уравнения кривой из декартовой $(x,\,y)$ в полярную систему координат $(r,\,\varphi )$ (и обратно) используют соотношения

$x=r\cos \varphi ,\,$ $y=r\sin \varphi ,\,$ $x^{2}+y^{2}=r^{2},$

поэтому уравнение аньезианы будет следующим:

$y(x^{2}+b^{2})=2ab^{2},$

$r\sin \varphi (r^{2}\cos ^{2}\varphi +b^{2})=2ab^{2},$

или

$r^{3}\sin ^{3}\varphi =r\sin \varphi (r^{2}+b^{2})-2ab^{2}.$

В параметрическом виде уравнение аньезианы на вещественной декартовой плоскости

$y(x^{2}+b^{2})=2ab^{2}$

может быть таким:

$x=b\operatorname {tg} t,$

$y=2a\cos ^{2}t,$

где $t=\angle DOP'',\,$ $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant t\leqslant {\frac {\pi }{2}},$

или таким:

$x=t,$

$y={\frac {2ab^{2}}{b^{2}+t^{2}}},$

где $-\infty \leqslant t\leqslant \infty ,$

или таким:

$x=b\operatorname {ctg} t,$

$y=a(1-\cos {2t}),$

где $0\leqslant t\leqslant \pi ,$

или таким:

$x=bt,$

$y={\frac {2a}{1+t^{2}}},$

где $-\infty \leqslant t\leqslant \infty .$

Из декартовых параметрических уравнений

$x=b\operatorname {tg} t,$

$y=2a\cos ^{2}t$

можно получить в параметрическом виде уравнение аньезианы в полярных координатах:

$r={\sqrt {b^{2}\operatorname {tg} ^{2}t+4a^{2}\cos ^{4}t}},$

$\operatorname {tg} \varphi ={\frac {2a\cos ^{3}t}{b\sin t}}.$

Виды аньезиан

В этом разделе аньезианы определяются уравнением

$y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2}.$

Точки перегиба и максимум

Отмечены точки перегиба и общие полюс в начале координат и вершина

Вычислим вторую производную функции, задающей аньезиану:

$y={\frac {2ab^{2}}{x^{2}+b^{2}}},$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {4ab^{2}x}{(x^{2}+b^{2})^{2}}},$

${\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}=-{\frac {4ab^{2}}{(x^{2}+b^{2})^{2}}}+{\frac {16ab^{2}x^{2}}{(x^{2}+b^{2})^{3}}}=$

$=4ab^{2}{\frac {3x^{2}-b^{2}}{(x^{2}+b^{2})^{3}}}.$

В точке перегиба вторая производная функции меняет знак, то есть необходимое условие точки перегиба — равенство нулю второй производной функции (а заодно и кривизны кривой). Другими словами, точки перегиба суть решение следующего уравнения:

${\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}=4ab^{2}{\frac {3x^{2}-b^{2}}{(x^{2}+b^{2})^{3}}}=0.$

Получаем следующие точки перегиба аньезианы (см. рисунок справа):

$\left({\frac {\pm b}{\sqrt {3}}},\,{\frac {3a}{2}}\right),$

лежащие на прямой $y={\frac {3a}{2}}.$

Точки экстремума удовлетворяют уравнению

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {4ab^{2}x}{(x^{2}+b^{2})^{2}}}=0,$

поэтому аньезиана имеет единственный максимум в точке $(0,\,2a)$ на образующей окружности — вершину.

Пересечение с образующей окружностью

Отмечены точки пересечения аньезиан с образующей окружностью

Аньезиана

$y(b^{2}+x^{2})=2ab^{2};$

всегда пересекается с образующей окружностью

$(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}$

в точке вершины $(0,\,2a),$ и, кроме того, может пересекаться ещё в точках пересечения образующей прямой с образующей окружностью.

Найдём эти две точки. Для этого уравнение аньезианы

$x^{2}=b^{2}{\frac {2a-y}{y}}$

подставим в уравнение образующей окружности

$x^{2}=y(2a-y),$

получим:

$b^{2}{\frac {2a-y}{y}}=y(2a-y),$

$(2a-y)(b^{2}-y^{2})=0.$

Итак, две искомые точки задаются уравнением

$b^{2}-y^{2}=0$

при условии

$0\leqslant y\leqslant 2a,$

то есть это точки

$(\pm {\sqrt {2ab-b^{2}}},\,b).$

В итоге аньезианы по точкам пересечения с образующей окружностью делятся на три вида (см. рисунок справа):

• при $0<b<2a$ имеем три точки пересечения: $(0,\,0),$ $(2a,\,0)$ и $(\pm {\sqrt {2ab-b^{2}}},\,b);$
• для пограничной верзиеры с $b=2a$ две предыдущие точки пересечения $(\pm {\sqrt {2ab-b^{2}}},\,b)$ сливаются с «тройной» точкой $(0,\,2a);$
• при $b>2a$ имеем одну обычную точку пересечения $(0,\,2a).$

Источники

• Аньези локон // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1970. Т. 2. Ангола — Барзас. 1970. 632 с. с илл., 32 л. илл., 14 л. карт. С. 115.
• Аньези локон // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 75.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: АСТ: Астрель, 2006. 991 с., ил. ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»). ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»).
• Иванов А. Б. Аньези локон // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 297.
• Линия // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1973. Т. 14. Куна — Ломами. 1973. 624 с. с илл., 32 л. илл., 6 л. карт. С. 466—470.
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с., ил. ISBN 5-7036-0027-8.
• Ferréol Robert. Witch of Agnesi // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 25 августа 2023 на Wayback Machine
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
• Weisstein Eric W. Witch of Agnesi // Wolfram MathWorld Архивная копия от 8 мая 2022 на Wayback Machine